组合kdv方程的hamilton系统

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1、组合KdV方程的Hamilton系统　　【摘要】本文根据KdV方程的Hamilton系统，构造并证明了组合KdV方程的Hamilton系统。　　【关键词】组合KdV方程；Hmailton算子；Hmailton系统　　1引言　　KdV和mKdV方程是发现最早且最具代表性的非线性发展方程，在数学、物理、工程等领域，都有十分重要的应用前景。近些年来，对它们的可积性质的研究不断增多，得到一些结论。　　本文考虑组合KdV方程　　ut=δuxxx+auux+bu2ux（δ，a，b为实常数）　　它可看作一维非线性晶格传播波的模型，也可作为流体力学中的一个模型方程

2、，组合KdV方程是KdV和mKdV方程的复合，既包含有非线性效应，又包含频散作用。　　对于组合KdV方程，已经得到了一些精确解。下面讨论它的Hmailton系统。　　19世纪20年代Hmailton在描述几何学时发现了Hmailton系统，成为力学上与Lagrange力学等价的又一种力学描述方式。由于这类系统广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学的各个领域，特别是天体力学、航天科学以及生物工程中的很多模型都以Hmailton系统（或它的扰动系统）的形式出现，因此该领域的研究多年来成为人们关注的研究方向。6　　2相关的定义及定理　　定义1对任意函数

3、f（t，x，u），g（t，x，u），定义内积　　=f（t，x，u）g（t，x，u）dx　　定理1线性算子D：Am→Am为Hmailton算子，若其满足：　　（?。┓炊猿菩裕?D*=-D；　　（??）Jacobi恒等式：++=0，p，q，r为任意向量函数。　　定义2一对算子D1，D2称相容的，若它们的线性组合aD1+bD2也是Hmailton算子，a，b为任意常数。　　定义3若非线性演化方程ut=K（u），K（u）∈Am　　可以表示成ut=D　　其中D是Hmailton算子，是泛函∈的变分导数，则称其为一个Hmailton系统。　　定义4若非线性演化

4、方程ut=K（u），K（u）∈Am　　可以表示成ut=K（u）=D1=D2　　其中1，2为相应的Hmailton泛函，而且D1，D2为相容的Hmailton算子对，则称其具有双Hmailton系统。　　定理2若H（u）∈F，且H'=（H'）*，则　　H=，=dλ　　其中是微分函数的全体，H是Hmailton函数，H'是H的Frechét导数，（H'）*是H的共轭。　　3组合KdV方程的Hmailton系统　　对于组合KdV方程6　　ut=δuxxx+auux+bu2ux（δ，a，b为实常数）　　可以写成ut=x（δuxx+u2+u3）=D1　　即存

5、在D1=x，1=（uuxx+u3+u4）dx，　　使等式ut=D1　　成立，因此组合KdV方程是一个Hmailton系统。　　证明：首先证明1存在，即1=（uuxx+u3+u4）dx，取H1=δuxx+u2+u3，则H1'=au+bu2+δ2x，（H1'）*=au+bu2+δ2x，　　即H1'=（H1'）*　　由定理2可得　　1=dλ=

6、q，r为任意向量函数，　　D1'[D1q]=0，D1'[D1r]=0，D1'[D1p]=0　　∴++=0　　满足Jacobi恒等式，因此D=x为Hmailton算子，从而组合KdV方程是一个Hmailton系统。　　另外，当b=2a=4δ时，组合KdV方程变为　　ut=δ（uxxx+2uux+4u2ux）　　可以写成ut=（3x+ux+ux）（4δu）=D2=D16　　即存在D1=x，1=δ（uuxx+u3+u4）dx，　　D2=3x+ux+ux，2=（2δu2）dx，　　使等式ut=D2=D1成立，并且算子D1，D2称相容的，因此组合KdV方程在

7、b=2a=4δ时，是一个双Hmailton系统。　　证明：首先证明2存在，即2=（2δu2）dx　　取H2=4δu，则H'2=4δ，（H'2）*=4δ，即H'2=（H'2）*　　由定理2可得　　2=dλ=

8、rx+uqxrx+uxqrx+q4xr+uxqxr+uqxxr+uxxqr　　∴pD'2[D2q]r+qD'2[D2r]p