广义五阶kdv方程的hamilton对称性与局部守恒律

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1、广义五阶KdV方程的Hamilton对称性与局部守恒律2011年8月第29卷第4期西北工业大学JournalofNorthwesternPolytechnicalUniversityAug.2011V01.29No.4广义五阶KdV方程的Hamihon对称性与局部守恒律韩松梅,邓子辰,胡伟鹏,张素英41.西北工业大学力学与土木建筑学院,陕西西安7100722.大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁大连1160233.上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室,上海2002404.山西大学理论物理研究所,山西太原030006摘要:基于Hamilton

2、空间体系下的多辛降阶理论构造了广义五阶KdV方程的一阶对称形式,随后证明了该对称形式是多辛的,最后应用多辛理论研究了广义五阶KdV方程的多种局部守恒律,为高阶发展方程的固有几何性质研究提供了新的途径.关键词:广义五阶KdV方程,局部守恒律,对称性中图分类号:241.82文献标识码:A文章编号:1000-2758(2011)04-0594-041984年,冯康先生在双微(微分方程和微分几何)国际会议上提出了基于辛几何的辛算法…,首开保结构算法研究先河.为了进一步研究无穷维哈密顿系统的局部几何性质,Bridges等将针对有限维哈密顿系统的辛算法推广到无穷维哈密

3、顿系统中,创立了多辛算法j,从此,保结构算法研究进入到了一个新的发展阶段.保结构算法的魅力在于算法实现过程中能够精确保持原系统的某些固有几何性质,而这些几何性质的数学表述往往以各种守恒律的形式存在,因此,近年来,哈密顿系统的守恒律得到了学术界广泛关注,代表性的研究成果有:姚若夏和李志斌利用非线性变换,构造了七阶KdV方程的守恒律;Edelstein和Govinder利用点对称性,构造了Black-Seholes方程的多种守恒律;Naz,Naeem和Abelman借助变分微商等数学手段得到了Camassa—Holm方程和Dullin—Gottwald—Hol

4、m系列方程的多种守恒律.广义五阶KdV方程已经广泛用于描述等离子体波,毛细管重力水波等弱色散现象.本文基于多辛理论,通过引入适当的正交动量,构造了广义五阶KdV方程的多种局部守恒律,为高阶Hamilton动力学系统的几何性质研究提供了新的途径.1广义五阶KdV方程的对称性在总结大量理论研究成果基础上,Kawaharal_6推导出了如下广义五阶KdV方程模型20'"+0ca"It+卢a瓤砧u:a'(ig,a,a搬)口≠0(1)式中,和口为实系数,11,:u(x,t)为纯量函数=,(,a12,a)光滑可微.首先回顾一下方程(1)的对称形式(多辛形式)的构造过程

5、"'.大量可用方程(1)描述的实际问题中,函数,均可以表示为某一函数h(",Oxtt,a")对的变分微商,即1f寺上(,aa"u)(2)式中函数可部分分离h(",a",a):F(,aM)+auE(,au)(3)收稿日期:2010.10.15基金项目:国家自然科学基金(10972182,11002115和10972125),ll1引智计划(B07050),航空科学~(2010ZB53021),西北工业大学基础研究基金(Jc20o938),高校博士点基金(2O1o61o211o019),机械系统与振动国家重点实验室开放课题(MSV-2011.21)及大连理工大

6、学工业装备结构分析国家重点实验室开放基金(GZ0802)资助作者简介:韩松梅(1981一),女,西北工业大学硕士研究生,主要从事多辛算法在力学问题中的应用研究.第4期韩松梅等:广义五阶KdV方程的Hamilton对称性与局部守恒律.595.将(3)式代人(2)式,得,(,叫,a")=上(axxU)dx=F(,aIt)一a[F(It,a)]a一a埘Ⅱ[,a(,a)]+2O(,a)+uOu[E(,a)]+(aⅡ)[E(,a)](4)这样,就可以将方程(1)纳入Hamilton系统,具体推导如下:由方程(1)有a+{_a[otO+flO~,uO一/",a",aM

7、)]=0M=K=.0—1000010O00000OOOO000O00000000.00O000000—10000O—l00O001O000O1OO00O1OO0O一100O(5)后续章节将会说明对称形式(9)是多辛的,该令证明是必要的,因为普通的多辛形式只需要验证系,=[专+警羹(,a,a)】之间的正交性难以验证.并记.,=一1a,得到方程(1)的H眦ih.n表述形式2广义五阶KdV方程的局部守恒律aU=JoH(6)由于力学系统的守恒律与其对称性密切相关,因此为了研究方程(1)的局部守恒律,首先需要在Hamilton体系下讨论方程(6)的对称性.引入如下的

8、动量系列Oxq1=p=ag.一ap:一aF一aMqP2=-otq2