2015-2016学年北京市海淀区八下期末数学试卷

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2015-2016学年北京市海淀区八下期末数学一、选择题（共10小题；共50分）1.下列各式中，运算正确的是  A.33−3=3B.8=22C.2+3=23D.−22=−22.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是  A.2，2，3B.3，4，5C.5，12，13D.1，2，33.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点．若∠AOB=60∘，AC=8，则AB的长为  A.4B.43C.3D.54.已知P1−1,y1，P22,y2是一次函数y=−x+1图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是  A.y1=y2B.y1y2D.不能确定5.2022年将在北京-张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．下表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差：队员1队员2队员3队员4平均数x秒51505150方差s2秒23.53.514.515.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择  A.队员1B.队员2C.队员3D.队员4 6.用配方法解方程x2−2x−3=0，原方程应变形为  A.x−12=2B.x+12=4C.x−12=4D.x+12=27.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为  A.13B.14C.15D.168.一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的8 min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．则8 min时容器内的水量为  A.20 LB.25 LC.27 LD.30 L9.若关于x的方程kx2−k+1x+1=0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为  A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=60∘，AB=2，E是DC边上一个动点，F是AB边上一点，∠AEF=30∘．设DE=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的   A.线段ECB.线段AEC.线段EFD.线段BF二、填空题（共6小题；共30分）11.写出一个以0，1为根的一元二次方程 ．12.若关于x的一元二次方程x2+4x−m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．13.如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理 ．14.若一次函数y=kx+bk≠0的图象如图所示，点P3,4在函数图象上，则关于x的不等式kx+b≤4的解集是 ． 15.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90∘，若AB=5，BC=8，则EF的长为 ．16.如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于 ．三、解答题（共10小题；共130分）17.计算：12+3×6−212．18.解方程：yy−4=−1−2y．19.已知x=1是方程x2−3ax+a2=0的一个根，求代数式3a2−9a+1的值．20.在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A2,3与点B0,5． （1）求此一次函数的表达式；（2）若点P为此一次函数图象上一点，且△POB的面积为10，求点P的坐标．21.如图，四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．22.阅读下列材料：北京市为了紧抓疏解非首都功能这个“牛鼻子”，迁市场、移企业，人随业走．东城、西城、海淀、丰台……人口开始出现负增长，城六区人口2016年由升转降．而现在，海淀区许多地区人口都开始下降．统计数字显示：2015年该区常住外来人口约为150万人，同比下降1.1%，减少1.7万人，首次实现了负增长．和海淀一样，丰台也在2015年首次实现了常住外来人口负增长，同比下降1.4%，减少1.2万人；东、西城，常住外来人口同样呈下降趋势：2015年东城同比下降2.4%，减少5000人，西城则同比下降5.5%，减少1.8万人； 石景山，常住外来人口近年来增速放缓，预计到2016年年底，全区常住外来人口可降至63.5万，比2015年减少1.7万人，首次出现负增长；……2016年初，市发改委透露，2016年本市将确保完成人口调控目标--城六区常住人口较2015年下降3%，迎来人口由升转降的拐点．人口下降背后，是本市紧锣密鼓疏解非首都功能的大战略．根据以上材料解答下列问题：（1）石景山区2015年常住外来人口约为 万人；（2）2015年东城、西城、海淀、丰台四个城区常住外来人口同比下降率最高的是 区；根据材料中的信息估计2015年这四个城区常住外来人口数最多的是 区；（3）如果2017年海淀区常住外来人口降到121.5万人，求从2015年至2017年平均每年外来人口的下降率．23.如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE=BF．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；（2）若∠BEF=∠DAE，AE=3，BE=4，求EF的长．24.如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小为α，面积记为S．（1）请补全下表： α30∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘S12122（2）填空：由（1）可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不妨把单位菱形的面积S记为Sα．例如：当α=30∘时，S=S30∘=12；当α=135∘时，S=S135∘=22．由上表可以得到S60∘=S  ∘；S150∘=S  ∘；⋯，由此可以归纳出S180∘−α=S  ．（3）两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD=2，∠AOB=α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．25.如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN=90∘，CM=MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．（1）①依题意补全图形；②求证：BE⊥AC．（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．（3）设AB=1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为 （直接写出答案）． 26.在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比k=BCAB．（1）如图2，若点A1,3，B3,5，则△OAB投影比k的值为 ．（2）已知点C4,0，在函数y=2x−4（其中x<2）的图象上有一点D，若△OCD的投影比k=2，求点D的坐标．（3）已知点E3,2，在直线y=x+1上有一点F5,a和一动点P，若△PEF的投影比1−413.对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角14.x≤315.3216.2第三部分17.原式=23+3×6−2×22=33×6−2=3×32−2=92−2=82.18.y2−2y+1=0.y−12=0.y1=y2=1.19.解法一：因为x=1是方程x2−3ax+a2=0的一个根，所以1−3a+a2=0． 所以a2−3a=−1．所以3a2−9a+1=3a2−3a+1=3×−1+1=−2．【解析】解法二：因为x=1是方程x2−3ax+a2=0的一个根，所以1−3a+a2=0．所以a2−3a+1=0．解方程得a=3±52．把a=3±52代入得3a2−9a+1得3a2−9a+1=−2．20.（1）设此一次函数的表达式为y=kx+bk≠0．因为一次函数的图象经过点A2,3与点B0,5，所以2k+b=3,b=5.解得k=−1,b=5.所以此一次函数的表达式为y=−x+5．      （2）设点P的坐标为a,−a+5．因为B0,5， 所以OB=5．因为S△POB=10，所以12×5×a=10．所以a=4．所以a=±4．所以点P的坐标为4,1或−4,9．21.连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．因为AD⊥CD，所以∠D=90∘．在Rt△ACD中，AD=5，CD=12，AC=AD2+CD2=52+122=13．因为BC=13，所以AC=BC．因为CE⊥AB，AB=10，所以AE=BE=12AB=12×10=5．在Rt△CAE中，CE=AC2−AE2=132−52=12．所以S四边形ABCD=S△DAC+S△ABC=12×5×12+12×10×12=30+60=90．22.（1）65.2      （2）西城；海淀       （3）设海淀平均每年常住外来人口的下降率为x．由题意，得1501−x2=121.5．解得x1=0.1=10%，x2=1.9．（不合题意，舍去）答：海淀平均每年常住外来人口的下降率为10%．23.（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AD=BC，∠D=∠BCD=90∘．所以∠BCF=180∘−∠BCD=180∘−90∘=90∘．所以∠D=∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中AE=BF,AD=BC.所以Rt△ADE≌Rt△BCF．所以∠1=∠F．所以AE∥BF．因为AE=BF，所以四边形ABFE是平行四边形．      （2）因为∠D=90∘，所以∠DAE+∠1=90∘．因为∠BEF=∠DAE，所以∠BEF+∠1=90∘．因为∠BEF+∠1+∠AEB=180∘，所以∠AEB=90∘． 在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB=AE2+BE2=32+42=5．因为四边形ABFE是平行四边形，所以EF=AB=5．24.（1）22；32；32；12      （2）120；30；α      （3）两个带阴影的三角形面积相等．将△ABO沿AB翻折得到菱形AEBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD．所以S△AOB=12S菱形AEBO=12Sα，S△CDO=S菱形OCFD=12S180∘−α，由（2）中结论Sα=S180∘−α．所以S△AOB=S△CDO．25.（1）①依题意补全图形． ②解法1：连接CE．因为四边形ABCD是正方形，所以∠BCD=90∘，AB=BC．所以∠ACB=∠ACD=12∠BCD=45∘．因为∠CMN=90∘，CM=MN，所以∠MCN=45∘．所以∠ACN=∠ACD+∠MCN=90∘．因为在Rt△ACN中，点E是AN中点，所以AE=CE=12AN．因为AE=CE，AB=CB，所以点B，E在AC的垂直平分线上．所以BE垂直平分AC．所以BE⊥AC．【解析】解法2：连接CE．因为四边形ABCD是正方形，所以∠BCD=90∘，AB=BC．所以∠ACB=∠ACD=∠BCD=45∘．因为∠CMN=90∘，CM=MN，所以△CMN是等腰直角三角形．所以∠MCN=45∘．所以∠ACN=∠ACD+∠MCN=90∘．因为在Rt△ACN中，点E是AN中点，所以AE=CE=12AN． 在△ABE和△CBE中，AE=CE,AB=CB,BE=BE.所以△ABE≌△CBESSS．所以∠ABE=∠CBE．因为AB=BC，所以BE⊥AC．      （2）BE=22AD+12CN（或2BE=2AD+CN）．因为AB=BC，∠ABE=∠CBE，所以AF=FC．因为点E是AN中点，所以AE=EN．所以FE是△ACN的中位线．所以FE=12CN．因为BE⊥AC，所以∠BFC=90∘．所以∠FBC+∠FCB=90∘．因为∠FCB=45∘，所以∠FBC=45∘．所以∠FCB=∠FBC．所以BF=CF．在Rt△BCF中，BF2+CF2=BC2，所以BF=22BC．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=AD． 所以BF=22AD．因为BE=BF+FE，所以BE=22AD+12CN．      （3）34【解析】提示：在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN.26.（1）53      （2）∵点D为函数y=2x−4（其中x<2）的图象上的点，设点D坐标为x,2x−4x<2．分以下两种情况：①当0≤x≤2时，如图①所示，作投影矩形OMNC．∵OC≥OM，∴k=OCOM=4OM=4−2x−4=2． 解得x=1．∴D1,−2．②当x<0时，如图②所示，作投影矩形MDNC．∵点D坐标为x,2x−4，点M点坐标为x,0，∴DM=2x−4=4−2x，MC=4−x．∵x<0，∴DM>CM，∴k=DMMC=4−2x4−x=2，但此方程无解．∴当x<0时，满足条件的点D不存在．综上所述，点D的坐标为D1,−2．      （3）15【解析】提示：令y=x+1，y=2，则x+1=2，x=1.①当m≤1时，△PEF的投影比k=1，∴m≤1不合题意；②当15时，△PEF的投影比k=m−1m−3，m>5符合题意.