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《2015-2016学年北京市海淀区八下期末数学试卷》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
2015-2016学年北京市海淀区八下期末数学一、选择题(共10小题;共50分)1.下列各式中,运算正确的是 A.33−3=3B.8=22C.2+3=23D.−22=−22.下列各组数中,以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是 A.2,2,3B.3,4,5C.5,12,13D.1,2,33.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于O点.若∠AOB=60∘,AC=8,则AB的长为 A.4B.43C.3D.54.已知P1−1,y1,P22,y2是一次函数y=−x+1图象上的两个点,则y1,y2的大小关系是 A.y1=y2B.y1y2D.不能确定5.2022年将在北京-张家口举办冬季奥运会,很多学校开设了相关的课程.下表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差:队员1队员2队员3队员4平均数x秒51505150方差s2秒23.53.514.515.5根据表中数据,要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择 A.队员1B.队员2C.队员3D.队员4 6.用配方法解方程x2−2x−3=0,原方程应变形为 A.x−12=2B.x+12=4C.x−12=4D.x+12=27.如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F,若BF=12,AB=10,则AE的长为 A.13B.14C.15D.168.一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始4 min内只进水不出水,在随后的8 min内既进水又出水,每分钟的进水量和出水量是两个常数,容器内的水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示.则8 min时容器内的水量为 A.20 LB.25 LC.27 LD.30 L9.若关于x的方程kx2−k+1x+1=0的根是整数,则满足条件的整数k的个数为 A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图1,在菱形ABCD中,∠BAD=60∘,AB=2,E是DC边上一个动点,F是AB边上一点,∠AEF=30∘.设DE=x,图中某条线段长为y,y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示,则这条线段可能是图中的 A.线段ECB.线段AEC.线段EFD.线段BF二、填空题(共6小题;共30分)11.写出一个以0,1为根的一元二次方程 .12.若关于x的一元二次方程x2+4x−m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 .13.如图,为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直,工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC,BD的长度,若二者长度相等,则该书架的侧边与上、下边都垂直,请你说出其中的数学原理 .14.若一次函数y=kx+bk≠0的图象如图所示,点P3,4在函数图象上,则关于x的不等式kx+b≤4的解集是 . 15.如图,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90∘,若AB=5,BC=8,则EF的长为 .16.如图,正方形ABCD的面积是2,E,F,P分别是AB,BC,AC上的动点,PE+PF的最小值等于 .三、解答题(共10小题;共130分)17.计算:12+3×6−212.18.解方程:yy−4=−1−2y.19.已知x=1是方程x2−3ax+a2=0的一个根,求代数式3a2−9a+1的值.20.在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象经过点A2,3与点B0,5. (1)求此一次函数的表达式;(2)若点P为此一次函数图象上一点,且△POB的面积为10,求点P的坐标.21.如图,四边形ABCD中,AB=10,BC=13,CD=12,AD=5,AD⊥CD,求四边形ABCD的面积.22.阅读下列材料:北京市为了紧抓疏解非首都功能这个“牛鼻子”,迁市场、移企业,人随业走.东城、西城、海淀、丰台……人口开始出现负增长,城六区人口2016年由升转降.而现在,海淀区许多地区人口都开始下降.统计数字显示:2015年该区常住外来人口约为150万人,同比下降1.1%,减少1.7万人,首次实现了负增长.和海淀一样,丰台也在2015年首次实现了常住外来人口负增长,同比下降1.4%,减少1.2万人;东、西城,常住外来人口同样呈下降趋势:2015年东城同比下降2.4%,减少5000人,西城则同比下降5.5%,减少1.8万人; 石景山,常住外来人口近年来增速放缓,预计到2016年年底,全区常住外来人口可降至63.5万,比2015年减少1.7万人,首次出现负增长;……2016年初,市发改委透露,2016年本市将确保完成人口调控目标--城六区常住人口较2015年下降3%,迎来人口由升转降的拐点.人口下降背后,是本市紧锣密鼓疏解非首都功能的大战略.根据以上材料解答下列问题:(1)石景山区2015年常住外来人口约为 万人;(2)2015年东城、西城、海淀、丰台四个城区常住外来人口同比下降率最高的是 区;根据材料中的信息估计2015年这四个城区常住外来人口数最多的是 区;(3)如果2017年海淀区常住外来人口降到121.5万人,求从2015年至2017年平均每年外来人口的下降率.23.如图,四边形ABCD是矩形,点E在CD边上,点F在DC延长线上,AE=BF.(1)求证:四边形ABFE是平行四边形;(2)若∠BEF=∠DAE,AE=3,BE=4,求EF的长.24.如图1,将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD.在菱形ABCD中,∠A的大小为α,面积记为S.(1)请补全下表: α30∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘S12122(2)填空:由(1)可以发现单位正方形在压扁的过程中,菱形的面积随着∠A大小的变化而变化,不妨把单位菱形的面积S记为Sα.例如:当α=30∘时,S=S30∘=12;当α=135∘时,S=S135∘=22.由上表可以得到S60∘=S ∘;S150∘=S ∘;⋯,由此可以归纳出S180∘−α=S .(3)两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置,AD=2,∠AOB=α,试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等,并说明理由(注:可以利用(2)中的结论).25.如图,在正方形ABCD中,点M在CD边上,点N在正方形ABCD外部,且满足∠CMN=90∘,CM=MN.连接AN,CN,取AN的中点E,连接BE,AC,交于F点.(1)①依题意补全图形;②求证:BE⊥AC.(2)请探究线段BE,AD,CN所满足的等量关系,并证明你的结论.(3)设AB=1,若点M沿着线段CD从点C运动到点D,则在该运动过程中,线段EN所扫过的面积为 (直接写出答案). 26.在平面直角坐标系xOy中,图形G的投影矩形定义如下:矩形的两组对边分别平行于x轴,y轴,图形G的顶点在矩形的边上或内部,且矩形的面积最小.设矩形的较长的边与较短的边的比为k,我们称常数k为图形G的投影比.如图1,矩形ABCD为△DEF的投影矩形,其投影比k=BCAB.(1)如图2,若点A1,3,B3,5,则△OAB投影比k的值为 .(2)已知点C4,0,在函数y=2x−4(其中x<2)的图象上有一点D,若△OCD的投影比k=2,求点D的坐标.(3)已知点E3,2,在直线y=x+1上有一点F5,a和一动点P,若△PEF的投影比1−413.对角线相等的平行四边形是矩形,矩形的四个角都是直角14.x≤315.3216.2第三部分17.原式=23+3×6−2×22=33×6−2=3×32−2=92−2=82.18.y2−2y+1=0.y−12=0.y1=y2=1.19.解法一:因为x=1是方程x2−3ax+a2=0的一个根,所以1−3a+a2=0. 所以a2−3a=−1.所以3a2−9a+1=3a2−3a+1=3×−1+1=−2.【解析】解法二:因为x=1是方程x2−3ax+a2=0的一个根,所以1−3a+a2=0.所以a2−3a+1=0.解方程得a=3±52.把a=3±52代入得3a2−9a+1得3a2−9a+1=−2.20.(1)设此一次函数的表达式为y=kx+bk≠0.因为一次函数的图象经过点A2,3与点B0,5,所以2k+b=3,b=5.解得k=−1,b=5.所以此一次函数的表达式为y=−x+5. (2)设点P的坐标为a,−a+5.因为B0,5, 所以OB=5.因为S△POB=10,所以12×5×a=10.所以a=4.所以a=±4.所以点P的坐标为4,1或−4,9.21.连接AC,过点C作CE⊥AB于点E.因为AD⊥CD,所以∠D=90∘.在Rt△ACD中,AD=5,CD=12,AC=AD2+CD2=52+122=13.因为BC=13,所以AC=BC.因为CE⊥AB,AB=10,所以AE=BE=12AB=12×10=5.在Rt△CAE中,CE=AC2−AE2=132−52=12.所以S四边形ABCD=S△DAC+S△ABC=12×5×12+12×10×12=30+60=90.22.(1)65.2 (2)西城;海淀 (3)设海淀平均每年常住外来人口的下降率为x.由题意,得1501−x2=121.5.解得x1=0.1=10%,x2=1.9.(不合题意,舍去)答:海淀平均每年常住外来人口的下降率为10%.23.(1)因为四边形ABCD是矩形,所以AD=BC,∠D=∠BCD=90∘.所以∠BCF=180∘−∠BCD=180∘−90∘=90∘.所以∠D=∠BCF.在Rt△ADE和Rt△BCF中AE=BF,AD=BC.所以Rt△ADE≌Rt△BCF.所以∠1=∠F.所以AE∥BF.因为AE=BF,所以四边形ABFE是平行四边形. (2)因为∠D=90∘,所以∠DAE+∠1=90∘.因为∠BEF=∠DAE,所以∠BEF+∠1=90∘.因为∠BEF+∠1+∠AEB=180∘,所以∠AEB=90∘. 在Rt△ABE中,AE=3,BE=4,AB=AE2+BE2=32+42=5.因为四边形ABFE是平行四边形,所以EF=AB=5.24.(1)22;32;32;12 (2)120;30;α (3)两个带阴影的三角形面积相等.将△ABO沿AB翻折得到菱形AEBO,将△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD.所以S△AOB=12S菱形AEBO=12Sα,S△CDO=S菱形OCFD=12S180∘−α,由(2)中结论Sα=S180∘−α.所以S△AOB=S△CDO.25.(1)①依题意补全图形. ②解法1:连接CE.因为四边形ABCD是正方形,所以∠BCD=90∘,AB=BC.所以∠ACB=∠ACD=12∠BCD=45∘.因为∠CMN=90∘,CM=MN,所以∠MCN=45∘.所以∠ACN=∠ACD+∠MCN=90∘.因为在Rt△ACN中,点E是AN中点,所以AE=CE=12AN.因为AE=CE,AB=CB,所以点B,E在AC的垂直平分线上.所以BE垂直平分AC.所以BE⊥AC.【解析】解法2:连接CE.因为四边形ABCD是正方形,所以∠BCD=90∘,AB=BC.所以∠ACB=∠ACD=∠BCD=45∘.因为∠CMN=90∘,CM=MN,所以△CMN是等腰直角三角形.所以∠MCN=45∘.所以∠ACN=∠ACD+∠MCN=90∘.因为在Rt△ACN中,点E是AN中点,所以AE=CE=12AN. 在△ABE和△CBE中,AE=CE,AB=CB,BE=BE.所以△ABE≌△CBESSS.所以∠ABE=∠CBE.因为AB=BC,所以BE⊥AC. (2)BE=22AD+12CN(或2BE=2AD+CN).因为AB=BC,∠ABE=∠CBE,所以AF=FC.因为点E是AN中点,所以AE=EN.所以FE是△ACN的中位线.所以FE=12CN.因为BE⊥AC,所以∠BFC=90∘.所以∠FBC+∠FCB=90∘.因为∠FCB=45∘,所以∠FBC=45∘.所以∠FCB=∠FBC.所以BF=CF.在Rt△BCF中,BF2+CF2=BC2,所以BF=22BC.因为四边形ABCD是正方形,所以BC=AD. 所以BF=22AD.因为BE=BF+FE,所以BE=22AD+12CN. (3)34【解析】提示:在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中,线段EN所扫过的图形为四边形DFCN.26.(1)53 (2)∵点D为函数y=2x−4(其中x<2)的图象上的点,设点D坐标为x,2x−4x<2.分以下两种情况:①当0≤x≤2时,如图①所示,作投影矩形OMNC.∵OC≥OM,∴k=OCOM=4OM=4−2x−4=2. 解得x=1.∴D1,−2.②当x<0时,如图②所示,作投影矩形MDNC.∵点D坐标为x,2x−4,点M点坐标为x,0,∴DM=2x−4=4−2x,MC=4−x.∵x<0,∴DM>CM,∴k=DMMC=4−2x4−x=2,但此方程无解.∴当x<0时,满足条件的点D不存在.综上所述,点D的坐标为D1,−2. (3)15【解析】提示:令y=x+1,y=2,则x+1=2,x=1.①当m≤1时,△PEF的投影比k=1,∴m≤1不合题意;②当15时,△PEF的投影比k=m−1m−3,m>5符合题意.
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