高中数学 第二章 空间向量与立体几何 1 从平面向量到空间向量学案 北师大版选修2-1

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1、1从平面向量到空间向量学习目标　1.理解空间向量的概念.2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念.3.理解空间向量的夹角.4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念.知识点一　空间向量的概念思考1　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.思考2　若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也一定相同吗？梳理　空间向量的有关概念(1)定义：在空间中，把既有______又有______的量，叫作空间向量.(2)长度：空间向量的大小叫作向量的______或____.(3)表示法(4)自由向量：与向量的起点无关

2、的向量.知识点二　空间向量的夹角思考　在平面内，若非零向量a与b共线，则它们的夹角是多少？梳理　空间向量的夹角(1)文字叙述：a，b是空间中两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则________叫作向量a与向量b的夹角，记作______________.(2)图形表示：角度表示〈a，b〉＝____非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。〈a，b〉是____〈a，b〉是____〈a，b〉是_

3、___〈a，b〉＝____(3)范围：____≤〈a，b〉≤____.(4)空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝______，那么称a与b互相垂直，记作________.知识点三　向量与直线、平面1.向量与直线与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向.如图所示.l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的______向量，显然，与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量______于该直线.2.向量与平面如图，如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的______

4、__.类型一　有关空间向量的概念的理解例1　给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足

5、a

6、＝

7、b

8、，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是(　　)A.1B.2C.3D.4非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。反思与感悟　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平

9、面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.跟踪训练1　(1)在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于(　　)A.1B.2C.3D.4(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个？②试写出模为的所有向量；③试写出与向量相等的所有向量；④试写出向量的所有相反向量

10、.类型二　求空间向量的夹角例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列各对向量的夹角：(1)〈，〉；非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。(2)〈，〉；(3)〈，〉.引申探究在本例中，求〈，〉.　反思与感悟　求解空间向量的夹角，要充分利用原几何图形的性质，把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角，要注意向量方向.跟踪训练2　在正四面体ABCD中，〈，〉的大小为(　　)A.B.C.D.类型三

11、　直线的方向向量与平面法向量的理解例3　已知正四面体A－BCD.(1)过点A作出方向向量为的空间直线；(2)过点A作出平面BCD的一个法向量.反思与感悟　直线的方向向量有无数个，但一定为非零向量；平面的法向量也有无数个，它们互相平行.给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定：(1)唯一一条过点A且平行于向量a的直线；(2)唯一一个过点A且垂直于向量a的平面.跟踪训练3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，以C1为起点，指出直线AP的一个方向向量.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向

12、股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。1.下列命题中，正确的是(　　)A.若

13、a

14、＝

15、b

16、，则a与b共线B.若

17、a

18、＞

19、b

20、，则a＞bC.若a＝b，则

21、a

22、＝

23、b

24、D.若a≠b，则a与b不共线2.以长方体ABCD－A1B1C1D1的任意两个顶点为起点和终点的向量中，能作为直线BB1的方向向量的个