2016年全国高中数学联赛试卷

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1、2016年全国高中数学联赛试题一、填空题1．设实数a满足，则的取值范围是____________.【解】由于，解之得，2.设复数满足，，其中i是虚数单位，分别是的共轭复数，则的模为_____________.【解】，，，.【点评】3.正数均不等于1，若.则_______.【解】，,由于，Then，，.【点评】换元法.4.袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币，现随机从两个袋子中各取两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率是______

2、___________.【解】A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币A中取走的纸币面值之和小于B中取走的纸币之和，当袋子A中取走2张1元时，有种取法，只要B不取2张1元即可，有，其余情况均不符合题意，故.2.设为一圆锥的顶点，是底面圆周上的三点，满足，为的中点.若，则二面角的大小为______________.【解】,.3.设函数，其中是一个正整数.若对任意实数，均有，则的最小值是___________.【解】,当且仅当时，取到最大值，对于任意一个长为1的区间至少包含一个最大值点，从而.反之，当时，

3、对于任意一个区间均包含的一个完整周期，此时，成立，综上，正整数的最小值为.2.设为正实数，若存在，使得，则的取值范围是______________【解】，，因为，所以，若存在，使得，则，当时，区间长度不小于4，必存在；当时，，当，，无解，舍；当，；当，，综上，.8.9.（16分）若实数a、b、c满足，，求c的最小值.【解】设，则，则.【题目】在中，已知：.求的最大值.（A卷）【解】，即，由余弦定理，，化简，得，，.10.已知：为上的奇函数，，且对任意，均有.求的值.【解】先求函数的解析式.因为对任意，

4、均有，令，则，（叠乘）则，下面求，原式=11.如图所示，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上一个动点，以为焦点、为顶点作抛物线.设是第一象限内上的一点，是轴负半轴上一点，使得是为的切线，【解】,两焦点，，设直线，，，由不重合，故直线的斜率存在，故是方程的两个不等实根，，①，，，，由于直线的斜率依次成等差数列，所以，即，，若，则直线经过，与题意矛盾，故，由韦达定理，，故，②，由①，②得，，焦点到直线的距离为，故，注意到，令，则，故在区间上单调减，故.加试【题目】设满足.求的最大值.【解】推广成一般情况：设满

5、足.let.求的最大值.,Ifandonlyifand,So.【题目】如图所示，在中，是直线上两点，使得（2016全国高中数学联赛加试2题）设，的外心分别是，直线与分别交于.证明：是等腰三角形.【证明】作平分线，交于，，即关于圆的幂等于关于圆的幂，在圆与圆的根轴上，，是等腰三角形.【法2】分别作在上的射影，（其中外接圆半径），同理，，因为，所以，因为，同理，所以，是等腰三角形.【题目】设均为素数，，定义数列其中表示不小于实数的最小整数.证明：对于均有.【证明】（数学归纳法）对于整数数列，当时，，均为素

6、数，，，当时，，均有成立，此时，，,从而对于，有因为，所以，，，又因为为大于1的素数，所以，所以，所以，.