1992年全国高中数学联赛试卷

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1、1992年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(每小题5分，共30分)1.对于每个自然数n，抛物线y(n2＋n)x2-(2n＋1)x＋1与x轴交于An，Bn两点，以

2、AnBn

3、表示该两点的距离，则

4、A1B1

5、＋

6、A2B2

7、＋L＋

8、A1992B1992

9、的值是()(A)(B)(C)(D)2.已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是()(A)(x＋)(y＋)=0(B)(x-)(y-)=0(C)(x＋)(y-)=0(D)(x-)(y＋)=03.设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记=/S，则一定满足()(

10、A)2<≤4(B)3<<4(C)2.5<≤4.5(D)3.5<<5.54.在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b¹1)，且都是方程=logb(4x-4)的根，则△ABC()(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形5.设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且

11、z1

12、=4，4z12-2z1z2＋z22=0，O为坐标原点，则△OAB的面积为()(A)8(B)4(C)6(D)126.设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10＋x)f(1

13、0-x)，f(20-x)-f(20＋x)，则f(x)是(A)偶函数，又是周期函数(B)偶函数，但不是周期函数(C)奇函数，又是周期函数(D)奇函数，但不是周期函数二．填空题(每小题5分共30分)1.设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且成等差数列，则的值是______．1.在区间[0，p]中，三角方程cos7xcos5x的解的个数是______．2.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是_____．3.设z1，z2都是复数，且

14、z1

15、=3，

16、z2

17、=5

18、z1＋z2

19、=7，则arg()3的

20、值是______．4.设数列a1，a2，L，an，L满足a1a21，a32，且对任何自然数n，都有anan＋1an＋2¹1，又anan＋1an＋2an＋3an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，则a1＋a2＋L＋a100的值是____．5.函数f(x)=-的最大值是_____．三、(20分)求证：．四、(20分)设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=，BE=CF=，求l与m的距离．五、(20分)设n是自然数，fn(x)(x¹0，1)，令y=x＋.1.求证:fn＋1(

21、x)=yfn(x)-fn－1(x)，(n>1)2.用数学归纳法证明：fn(x)=1993年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一．选择题(每小题5分，共30分)1．若M＝{(x，y)

22、

23、tgpy

24、+sin2px0}，N＝{(x，y)

25、x2+y2≤2}，则MN的元素个数是（）(A)4(B)5(C)8(D)92．已知f(x)＝asinx+b+4(a，b为实数)，且f(lglog310)5，则f(lglg3)的值是（）(A)-5(B)-3(C)3(D)随a，b取不同值而取不同值3．集合A，B的并集AB＝{a1，a2，a3}，当A¹B时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，

26、则这样的(A，B)对的个数是（）（A）8（B）9（C）26（D）274．若直线x＝被曲线C：(x－arcsina)(x－arccosa)＋(y－arcsina)(y＋arccosa)＝0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是()(A)(B)(C)(D)p5．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上的高h，则的值是()(A)1(B)(C)(D)-16．设m，n为非零复数，i为虚数单位，zÎC，则方程

27、z＋ni

28、＋

29、z－mi

30、＝n与

31、z＋ni

32、－

33、z－mi

34、＝－m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是()二．填空题（每小题5分，

35、共30分）1．二次方程(1－i)x2＋(l＋i)x＋(1＋il)＝0(i为虚数单位，lÎR)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为________．2．实数x，y满足4x2－5xy＋4y2＝5，设S＝x2＋y2，则_______．1．若zÎC，arg(z2-4)＝，arg(z2+4)＝，则z的值是________．2．整数的末两位数是_______．3．设任意实数x0＞x1＞x2＞x3＞0，要使≥恒成立，则k的最大值是_______．4．三位数(100，101，L，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看

36、仍为三位数，如198倒过来看是861；