2004年全国高中数学联赛试卷

《2004年全国高中数学联赛试卷》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2004年全国高中数学联赛试卷一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角q使关于x的方程有重根，则q的弧度数为A．B。C。D。答：[]2、已知M=，N=，若对于所有的，均有则的取值范围是A．[]B。（）C。（）D。[]答：[]3、不等式>0的解集是A．[2，3]B。（2，3）C。[2，4]D。（2，4）答：[]4、设O点在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为A．2B。C。3D。答：[]5、设三位数，若以为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有A．45个B。81个C。165个D。216个答：[]6、顶点为P的圆

2、锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C是PA的中点，则当三棱锥O—HPC的体积最大时，OB的长是A．B。C。D。答：[]二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系中，函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积是_____________。8、设函数满足，且对任意的，都有=，则。9、如图，正方体中，二面角的度数是______________。10、设是给定的奇质数，正整数使得也是一个正整数，则=__________

3、______。11、已知数列满足关系式且，则的值是______。12、在平面直角坐标系中，给定两点M（-1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当∠第7页MPN取最大值时，点P的横坐标是___________。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）14、在平面直角坐标系

4、中，给定三点A（0，），B（-1，0），C（1，0）。点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中顶。（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L经过△ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率的取值范围。15、已知、是方程（）的两个不等实根，函数的定义域为[，]。（Ⅰ）求（Ⅱ）证明：对于，若，则。2004年全国高中数学联赛加试试卷一、（本题满分50分）在锐角△ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长。二、

5、（本题满分50分）在平面直角坐标系中，轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在X轴上的截距为，点的横坐标为，。（Ⅰ）证明>>4，。（Ⅱ）证明有，使得对都有<。三、（本题满分50分）对于整数≥4，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个元子集中，均有至少3个两两互素的元素。第7页第一试参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、解：因方程有重根，故得，于是。故选B。2、解：相当于点（0，b）在椭圆上或它的内部。故选A。3、解：原不等式等价于设解得。即。故选C。4、解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，则由（1）（2）得，，即共线，

6、且，故选C。5、解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中三个数码都相同，所以，。（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有。但当大数为底时，设a>b，必须满足。此时，不能构成三角形的数码是a987654321b4，32，14，32，13，213，211，21，211共20种情况。同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有种情况。故。综上，。第7页6、解：。C是PA

7、中点，最大，也即最大。此时，，故选D。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、解：，它的最小正周期为，振幅为。由的图像与的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为、宽为的长方形，故它的面积是。8、解：=即。9、解：连结，垂足为E，延长CE交于F，则，连结AE，由对称性知是二面角的平面角。连结AC，设AB=1，则中，，在的补角，。10、解：设，从而是平方数，设为第7页。（负值舍去）11、解：设即故数列是公比为2的等比数列，。。12、解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为S（a，3－a），则圆S的方程为：对于定长的弦在

8、优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而