2002年全国高中数学联赛试卷

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1、2002年全国高中数学联赛试卷一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．函数的单调递增区间是（　A　）（A）　　　（B）　　　（C）　　　　（D）2．若实数满足，则的最小值为（　B　）（A）2　　　　（B）1　　　　（C）　　　　（D）3．函数　　　　（　A　）（A）是偶函数但不是奇函数　　　　（B）是奇函数但不是偶函数（

2、C）既是偶函数又是奇函数　　　　（D）既不是偶函数也不是奇函数4．直线与椭圆相交于、两点，该椭圆上点，使得△的面积等于3．这样的点共有（A）1个　　　　（B）2个　　　　（C）3个　　　　（D）4个　　解：设（），即点在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形面积∴（此时）∵∴的最大值为，∴点不可能在直线的上方，显然在直线的下方有两个点．5．已知两个实数集合与，若从到的映射使得中每个元素都有原象，且，则这样的映射共有（A）　　　　　（B）　　　　（C）　　　　　（D）解：不妨设，将中元素按顺序分为非空的50组．定义映射，使第组的元素在之下的象

3、都是（）．易知这样的映射满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射的个数与按足码顺序分为50组的分法数相等，而的分法数为，则这样的映射共有．6．由曲线，，，围成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为；满足，，的点组成的图形轴旋转一周所得的旋转体的体积为，则（A）（B）　（C）（D）解：如图，两图形绕轴旋转所得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间．用任意一个与轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为，则所得截面面积，，∴，由祖暅原理知，两几何体体积相等，∴二、填空题（本题满分54分，每小题9分，本题共

4、有6个小题，要求直接将答案写在横线上．）7．已知复数，满足，．若它们所对应的向量的夹角为，则．8．将二项式的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中的幂指数是整数的项共有　　3　　个．9．已知点分别是四面体的顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（）有　33　个．10．已知是定义在上的函数，且对任意都有　　　　若，则　　　　　　．解：由，得，所以即，∴∴即是周期为1的周期函数，又，故11．若，则的最小值是　　　　　　　．解：由对称性只考虑，因为，所以只须求的最小值．令公代入，有．这是一个关于的二次方程显然有实根，故，∴当

5、，时，．故的最小值为12．使不等式对一切恒成立的负数的取值范围是　　　　　　　　．解：原不等式可化为∵，，∴当时，函数有最大值，从而有，整理得∴或，又，∴三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知点和抛物线上两点使得，求点的纵坐标的取值范围．解：设点坐标为，点坐标为．显然，故由于，所以从而，消去，注意到得：由解得：或．当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，均满足是题意．故点的纵坐标的取值范围是或．14．如图，有一列曲线．已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等

6、边三角形，再将中间部分的线段去掉（）．记为曲线所围成图形的面积．（1）求数列的通项公式；（2）求．解：（1）对进行操作，容易看出的每条边变成的4条边，故的边数为；同样，对进行操作，的每条边变成的4条边，故的边数为，从而不难得到的边数为．已知的面积为，比较与．容易看出在的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而有3条边，故再比较与，可知在的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而有条边，故类似地有：于是有　　　　　以下用数学归纳法证明成立．时，由上面已知等式成立假设时，有当时，易知第次操作后，比较与，在的每条边上增加了一个小等边三

7、角形，其面积为，而有条边，故综上，由数学归纳法知成立．（2）．15．设二次函数（）满足条件：（1）当时，，且；（2）当时，；（3）在上的最小值为0．求最大的（），使得存在，只要，就有．解：∵，∴函数的图象关于对称，∴，由（3）知，时，，即，由（1）得，由（2）得∴，即，又＝0∴，，，∴假设存在，只要，就有．取有．即，解得．对固定的，取，有，即，化简有，，解得于是有当时，对任意的，恒有．所以的最大值为9．2002年全国高中数学联赛加试试卷一、（本题满分50分）如图，在△中，，，点是外心，两条高、交于点．点、分别在线段、上，且满足．求的值．

8、解：在上取，边接．由三角形外心的性质知，由三角形垂心的性质知∴∴四点共圆．，又，，∴△≌△∵，∴，观察△，，则；又∵，，∴∴，故．二、（本题满分50分）实数和正数使得有三个实根，且满足（1）；（2）．求的最