全国高中数学联赛试卷.doc

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1、2005年全国高中数学联赛试卷(2005年10月16日上午8∶00－9∶40)一、选择题：1．使关于x的不等式+≥k有解的实数k的最大值是()A．－B．C．+D．2．空间四点A、B、C、D满足

2、

3、＝3，

4、

5、＝7，

6、

7、＝11，

8、

9、＝9．则·的取值()A．只有一个B．有二个C．有四个D．有无穷多个3．△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，则的值为()A．2B．4C．6D．84．如图，ABCD－A¢B¢C¢D¢为正方体，任作平面α与对角线AC¢垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面

10、积为S，周长为l，则()A．S为定值，l不为定值B．S不为定值，l为定值C．S与l均为定值D．S与l均不为定值5．方程+＝1表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线6．记集合T＝{0，1，2，3，4，5，6}，M＝{+++

11、ai∈T，i＝1，2，3，4}，将M中的元素按从大到小排列，则第2005个数是()A．+++B．+++C．+++D．+++二、填空题：7．将关于x 的多项式f(x)＝1－x+x2－x3+…－x19 +x20表为关于y的多项式g(y)＝a0+a1y+a2y2+…+

12、a19y19+a20y20，其中y＝x－4，则a0+a1+…+a20＝；8．已知f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，若f(2a2+a+1)＜f(3a2－4a+1)成立，则a的取值范围是；9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对于任意x∈R，cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)＝0，则γ－α＝；10．如图，四面体DABC的体积为，且满足∠ACB＝45°，AD+BC+＝3，则CD＝；11．若正方形ABCD的一条边在直线y＝2x－17上，另外两个顶点在抛物线y＝x2上，则该正方形面积的最小值为；12．如果自然数a的各位数字之和等

13、于7，那么称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2005，则a5n＝．三、解答题：13．数列{an}满足a0＝1，an+1＝，n∈N，证明：⑴对任意n∈N，an为正整数；12/12⑵对任意n∈N，anan+1－1为完全平方数．14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S，求使S达到最小值的放法的概率．(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法)15．过抛物线y＝x2上一点A(1

14、，1)作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足＝λ1；点F在线段BC上，满足＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD与EF交于点P，当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．加试卷一、如图，在△ABC中，设AB＞AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于点D；交直线l于点E、F．证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心．二、设正数a、b、c、x、y、z满足cy+bz＝a，az+cx＝b，bx+ay＝c．求函数f(x，y，z)＝++的最小值．三、对每个正整

15、数n，定义函数f(n)＝(其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}＝x－[x])．试求f(k)的值．2005年全国高中数学联赛试卷(2005年10月16日上午8∶00－9∶40)一、选择题：1．使关于x的不等式+≥k有解的实数k的最大值是()A．－B．C．+D．选D．解：3≤x≤6，令＝sinα(0≤α≤)，则x＝3+3sin2α，＝cosα．故≥(sinα+cosα)≥．故选D．12/122．空间四点A、B、C、D满足

16、

17、＝3，

18、

19、＝7，

20、

21、＝11，

22、

23、＝9．则·的取值()A．只有一个B．有二个C．有四个D．有无穷多个选A．解：+++＝．DA2＝

24、2＝(++)2＝AB2+BC2+CD2+2(·+·+·)＝AB2+BC2+CD2+2(·+·－2)，(其中+＝，＝－)＝AB2+BC2+CD2－2BC2+2(·)．故2·＝DA2+BC2－AB2－CD2＝92+72－32－112＝0Þ·＝0．选A．3．△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，则的值为()A．2B．4C．6D．8选A．解：AA1·cos＝2sin(B+)cos＝sin(A+B)+sinB＝sinC+sinB．AA1·cos+BB1·cos+CC1·cos＝2(sinA+sinB+sinC)．

25、故原式＝2．选A．4．如图，ABCD－A¢B¢C¢D¢为正方体，任作平面α与对角线AC¢垂直，使得α与正方体的每个面都有公