2004年全国高中数学联赛试卷

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1、2004年全国高中数学联赛冯惠愚2004年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cosq=0有重根，则q的弧度数为()A．B．或C．或D．2．已知M={(x，y)

2、x2+2y2=3}，N={(x，y)

3、y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N¹Æ，则b的取值范围是()A．[－，]B．(－，)C．(－，]D．[－，]3．不等式+logx3+2>0的解集为A．[2，3)B．(2，3]C．[2，4)D．(2，4]4．设点O在DABC的内部，且有+2+3=，则DABC的面积与DAOC的面积的比为()A．2B．C．3D．5

4、．设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有()A．45个B．81个C．165个D．216个6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为()A．B．C．D．二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)=的图像所围成的封闭图形的面积是；8．设函数f：R→R，满足

5、f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)=；9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是；10．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=；11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是；12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为；三．解答题(本题满分60分，每小题20分)13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷

6、所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：⑴某人在这项游戏中最多能过几关？-9-2004年全国高中数学联赛冯惠愚⑵他连过前三关的概率是多少？14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．⑴求点P的轨迹方程；⑵若直线L经过DABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．15．已知a，b是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=的定义域为[a，b]．⑴求g(t)=maxf(x)－minf(x)；⑵证明：对于ui∈(0，)(i=1，2，3)，若sin

7、u1+sinu2+sinu3=1，则++<．二试题一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{An}与曲线y=(x≥0)上的点列{Bn}满足

8、OAn

9、=

10、OBn

11、=，直线AnBn在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，n∈N*．⑴证明an>an+1>4，n∈N*；⑵证明有n0∈N*，使得对∀n>n0，都有++…++

12、4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素．-9-2004年全国高中数学联赛冯惠愚2004年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cotq=0有重根，则q的弧度数为()A．B．或C．或D．解：由方程有重根，故D=4cos2q－cotq=0，∵0

13、x2+2y2=3}，N={(x，y)

14、y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N¹Æ，则b的取值范围是()A．[

15、－，]B．(－，)C．(－，]D．[－，]解：点(0，b)在椭圆内或椭圆上，Þ2b2≤3，Þb∈[－，]．选A．3．不等式+logx3+2>0的解集为A．[2，3)B．(2，3]C．[2，4)D．(2，4]解：令log2x=t≥1时，>t－2．t∈[1，2)，Þx∈[2，4)，选C．4．设点O在DABC的内部，且有+2+3=，则DABC的面积与DAOC的面积的比为()A．2B．C．3D．解：如图，设DAOC=