高中第二册(下a)数学两个平面垂直的判定和性质 练习与解析

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1、两个平面垂直的判定和性质练习与解析1.平面α与平面β相交，m是α内的一条定直线，则下列结论正确的是（　　）A.在β内必存在与m平行的直线B.在β内必存在与m垂直的直线C.在β内必不存在与m平行的直线D.在β内不存在与m垂直的直线解析：在β内作垂直于α与β的交线的直线l，则l⊥m.答案：B2.对于直线m、n和平面α、β、γ，下列命题中，正确命题的个数为（　　）①若m∥α，n⊥m，则n⊥α②若m⊥α，n⊥m，则n∥α③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ④若m⊥α，m⊥β，则α⊥βA.1B.2C.3D.4解析：只有④正确.答案：A3.A为直二面角α－l－β的棱上的一点，两条长度都等

2、于a的线段AB、AC分别在α、β内并且都与l成45°角，则BC的长为（　　）A.aB.a或aC.a或aD.a或a解析：当AB、AC如图所示时，可求得BC=a，当∠B′AD为135°时，可求得BC=a.答案：B4.过平面外的两个点A、B有无穷多个平面都与α垂直，则一定有（　　）A.直线AB∥αB.直线AB与α成60°角C.A、B两点在α的一条垂线上D.A、B两点到α的距离相等解析：直线和平面的位置关系有三种，平行或在平面内时，过已知直线的平面与已知平面垂直的只有一个；当直线与平面斜交时，同样有且只有一个平面经过已知直线和已知平面垂直；当直线和平面垂直时，此时存在无数个平

3、面经过已知直线且垂直于已知平面.答案：C5.一个直角三角形的两个直角边长分别为a、b，沿斜边高折成直二面角，则两个直角边所夹角的余弦值为（　　）A.B.C.D.解析：将Rt△ABC沿斜边BC上的高AD折成直二面角，可求得AD=，CD=，BD=，∴折后BC的长为.在△ABC中，由余弦定理得cosBAC＝.答案：C6.自大于90°的二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角的大小关系是（　　）A.相等B.互补C.互余D.无关解析：两垂线所成的角与二面角的平面角的和为180°.答案：B7.设二面角α—AB—β面上一点D，DP在α内与AB成45°，与平面β成

4、30°角，则二面角α—AB—β的度数是（　　）A.15°B.30°C.45°D.60°解析：设DP与AB的交点为P，过点D作DO⊥β于O，则∠DPB=45°，∠DPO=30°，作DQ⊥AB于Q，连结OQ，则∠DQO为二面角的平面角.PO=DP，DQ=DP，∴sinDQO==，∠DQO=45°.答案：C8.已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N、E分别是AB、PC、CD的中点.（1）求证：MN∥平面PAD；（2）当MN⊥平面PCD时，求二面角P—CD—B的大小.（1）证明：取PD的中点为Q，连结AQ、QN，∵N为PC的中点，∴QNDC，∴QNAM，∴四边形

5、AMNQ为平行四边形，∴MN∥AQ，∴MN∥平面PAD.（2）解：∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD.∴∠PDA为二面角P—DC—B的平面角，∵MN⊥平面PCD，MN∥AQ，∴AQ⊥平面PDC，∴AQ⊥PD.∵Q为PD的中点，∴△PAD为等腰直角三角形，∴∠PDA=45°，即二面角P—CD—B的大小为45°.9.已知点P是平面四边形ABCD所在平面外一点，且AB=BC，AD=CD，PA=PC.求证：平面PAC⊥平面PBD.证明：设AC与BD交于O，连结PO.∵AD=DC，AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADO=∠CDO，∴△ADO≌△CD

6、O，∴OA=OC，即O为等腰△ADC的底边AC的中点.∴AC⊥DO.∵PA=PC，∴AC⊥PO.∴AC⊥平面POD，即AC⊥平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD.10.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求二面角A1—BD—C1的大小.解：取BD的中点为O，连结A1O、C1O.由A1D=A1B，DO=OB，得A1O⊥BD.同理C1O⊥BD，∴∠A1OC1为二面角A1—BD—C1的平面角.设正方体的棱长为a，连结A1C1，则A1C1=a.在Rt△A1OB中，A1O==同理，C1O=∴cosA1OC1==.∴∠A1OC1=arccos，即二面角A1—BD—C1的大

7、小为arccos.11.过120°二面角的棱上两点A和B，分别在它的两个半平面α、β内作垂直于棱的线段AC、BD，已知AB=2a，AC=BD=a，求CD的长.解：在α内作CHAB，连结BH、HD，则BHAC，∴BH=a，BH⊥AB.而BD⊥AB，∴∠HBD为二面角α—AB—β的平面角，∠HBD=120°，∴HD2=HB2+BD2－2HB·BDcos120°=3a2.∵CHAB，∴CH=2a，CH⊥平面HBD，∴CH⊥HD.从而CD2=CH2+HD2=4a2+3a2=7a2.∴CD=a.12.长为2a的线段AB的两端点在直二面角α—l—β的两个面内，且