运用曲线系解曲线方程问题.doc

《运用曲线系解曲线方程问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、运用曲线系解曲线方程问题张宽锁在《解析几何》中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时未知数多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，有没有一些更简便的方法解决这些问题呢？本文就此谈谈曲线系方程的应用。引入：高中《数学》第二册（上）P88第4题是：如果两条曲线方程是f1(x，y)＝0和f2(x，y)＝0，它们的交点是P（x0，y0），求证：方程f1(x，y)＋λf2（x，y）＝0的曲线也经过点P（λ是任意常数）。由此结论可得出：经过两曲线f1(x，y)＝0和f2（x，y）＝0交点的曲线

2、系方程为：f1（x，y）＋λf2（x，y）＝0。利用此结论可得出相关曲线系方程。一.直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。它的方程称直线系方程。几种常见的直线系方程：（1）过已知点P（x0，y0）的直线系方程y－y0＝k（x－x0）（k为参数）（2）斜率为k的直线系方程y＝kx＋b（b是参数）（3）与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程Ax＋By＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程Bx－Ay＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l

3、2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ为参数）【例1】已知直线l1：x＋y＋2＝0与l2：2x－3y－3＝0，求经过的交点且与已知直线3x＋y－1＝0平行的直线L的方程。解：设直线L的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0。∴（λ＋2）x＋(λ－3)＋2λ－3＝0。∵L与直线3x＋y－1＝0平行，∴。解得：λ＝。所以直线L的方程为：15x＋5y＋16＝0【例2】求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐

4、标。分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。解：由原方程得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①即，∴直线过定点P（9，－4）注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。二.圆系概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x－x0）2＋（y－y0）2＝r2，x0、y0为常数，r为参数。（2）过两已知圆C1：f1（x，y）＝x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0。和C2：f2（x，y）＝x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方

5、程为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）若λ＝－1时，变为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0，则表示过两圆的交点的直线。其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线。（3）过直线与圆交点的圆系方程：设直线L：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则过直线L与圆C交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0。【例3】高中

6、《数学》第二册（上）P82第8题是：求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，并且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程。解：根据（2）设所求圆的方程为：x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0。即（1＋λ）x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－(4＋28λ)＝0。其中圆心为（），又该圆心在直线x－y－4＝0上即，得＝－7。∴所求圆方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0。【例4】高中《数学》第二册（上）P72第9题是：求经过两条曲线x2＋y2＋3x－y＝0①和3x2＋3y2＋2x

7、＋y＝0②交点的直线方程。分析：此题常规方法是联立解方程组得交点坐标，再用两点式写出直线方程。若用（2）中方法则非常简单。解：先化②为圆的一般式方程：③由①－③得：即7x－4y＝0。此为所求直线方程。【例5】求过直线2x＋y＋4＝0和圆的交点，且过原点的圆方程。解：根据（3），设所求圆的方程为：。即，因为过原点，所以1＋4＝0，得＝。故所求圆的方程为：。三.椭圆系（1）与椭圆（半焦距为c）共焦点的椭圆系方程：（λ＞c2）（2）与椭圆具有相同离心率的椭圆系方程为（λ＞0）。【例6】求经过点（2，－3），且与椭圆9x2

8、＋4y2＝36有共同焦点的椭圆方程。解：因已知椭圆焦点在y轴上，且c2＝5，则可设所求椭圆方程为：又经过点（2，－3），代入方程得：，解得：＝10或＝－2（舍去）【例7】求与椭圆有相同离心率且经过点（2，－）的椭圆的标准方程。解：由题意，设所求椭圆方程为。∵椭圆过点（2，－），故。故所求的椭圆方程是。三.双曲线系（1）与双曲线共焦点的双曲线系方程：＝1（0＜