曲线系方程和应用

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1、高中数学竞赛一试内容讲座曲线系方程及应用曲线系方程１．直线系：；２．圆系３．二元二次曲线C：表示的曲线的类型：４．圆锥曲线系定理一：给定五点，其中三点在直线l上，另外两点不在l上，则经过这五点的二次曲线是唯一的，并且是退化的二次曲线（即两条直线）．　　定理二：给定五个点，其中任何三点都不共线，则过此五点有且仅有一条二次曲线．推论一：若圆锥曲线有四个不同交点，则过两曲线交点的曲线方程为：．推论二：若直线与圆锥曲线C：有四个不同交点，则过这四个交点的曲线系方程为：．推论三：若四直线　　　　　　　有四个不同的交点，则过这四个交点的曲线方程为

2、：　　　　　　　．8高中数学竞赛一试内容讲座　　　　推论四：的方程为：　　　　　　　　则曲线系为：　　　　　　　　．二．曲线系方程的应用求一条经过五点的圆锥曲线．四条直线围成一个四边形，问k取何值时，此四边形有一个外接圆，并求出此外接圆的方程．已知AB，CD是椭圆的两条倾斜角互补的两条弦，求证：A，B，C，D四点共圆．8高中数学竞赛一试内容讲座已知三角形三边所在直线方程为，求经过这个三角形的三个顶点，且过(3,1)点的抛物线方程．例５．求过点的抛物线方程．例６．过已知二次曲线的弦ＰＱ的中点Ｏ任意作两条弦ＡＢ，ＣＤ，求证：过Ａ，Ｂ，Ｃ，

3、Ｄ的任意二次曲线被直线ＰＱ所截得的线段均为Ｏ点所平分．例７．已知四边形ABCD的边AB，CD相交于O，过O点任作一直线l交AC于E，交BD于F，过A，B，C，D任作一圆锥曲线S与l相交于G，H，求证：．8高中数学竞赛一试内容讲座例８．若二次曲线的内接六边形的三组对边都不平行，求证：三组对边所在直线的交点共线．练习１．已知椭圆有四个交点，求过这４个交点的二次曲线的方程．２．求过点五点的二次曲线方程．３．在⊙Ｏ中，弦ＧＨ的中点Ｍ，过Ｍ任作两条弦ＡＢ，ＣＤ，ＡＣ，ＢＤ分别交ＧＨ于Ｅ，Ｆ，求证：ＥＭ＝ＭＦ．４．三个圆两两相交，证明：三条公共弦

4、所在直线平行或交于一点．8高中数学竞赛一试内容讲座曲线系方程及应用曲线系方程１．直线系：；２．圆系３．二元二次曲线C：表示的曲线的类型：４．圆锥曲线系定理一：给定五点，其中三点在直线l上，另外两点不在l上，则经过这五点的二次曲线是唯一的，并且是退化的二次曲线（即两条直线）．　　定理二：给定五个点，其中任何三点都不共线，则过此五点有且仅有一条二次曲线．推论一：若圆锥曲线有四个不同交点，则过两曲线交点的曲线方程为：．推论二：若直线与圆锥曲线C：有四个不同交点，则过这四个交点的曲线系方程为：．推论三：若四直线　　　　　　　有四个不同的交点，

5、则过这四个交点的曲线方程为：　　　　　　　．　　　　推论四：的方程为：8高中数学竞赛一试内容讲座　　　　　　　　则曲线系为：　　　　　　　　．二．曲线系方程的应用求一条经过五点的圆锥曲线．四条直线围成一个四边形，问k取何值时，此四边形有一个外接圆，并求出此外接圆的方程．已知AB，CD是椭圆的两条倾斜角互补的两条弦，求证：A，B，C，D四点共圆．已知三角形三边所在直线方程为8高中数学竞赛一试内容讲座，求经过这个三角形的三个顶点，且过(3,1)点的抛物线方程．例５．求过点的抛物线方程．例６．过已知二次曲线的弦ＰＱ的中点Ｏ任意作两条弦ＡＢ，

6、ＣＤ，求证：过Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的任意二次曲线被直线ＰＱ所截得的线段均为Ｏ点所平分．例７．已知四边形ABCD的边AB，CD相交于O，过O点任作一直线l交AC于E，交BD于F，过A，B，C，D任作一圆锥曲线S与l相交于G，H，求证：．8高中数学竞赛一试内容讲座例８．若二次曲线的内接六边形的三组对边都不平行，求证：三组对边所在直线的交点共线．练习１．已知椭圆有四个交点，求过这４个交点的二次曲线的方程．２．求过点五点的二次曲线方程．３．在⊙Ｏ中，弦ＧＨ的中点Ｍ，过Ｍ任作两条弦ＡＢ，ＣＤ，ＡＣ，ＢＤ分别交ＧＨ于Ｅ，Ｆ，求证：ＥＭ＝ＭＦ．４．三个圆

7、两两相交，证明：三条公共弦所在直线平行或交于一点．8