极坐标系和常见曲线及参数方程习题

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1、极坐标系和常见曲线及参数方程习题极坐标系:26在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系。26在极坐标系中表示点  点(3,60°)和点（4,210°）在极坐标中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。ρ=(x^2+y^2)^0.5正如所有的二维坐标系，极坐

2、标系也有两个坐标轴：r（半径坐标）和θ（角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t）。r坐标表示与极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。比如，极坐标中的（3,60°）表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。（−3,240°）和（3,60°）表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方（240°−180°=60°）。极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以

3、在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点（r，θ）可以任意表示为（r，θ±n×360°）或（−r，θ±(2n+1)180°），这里n是任意整数。[7]如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。思：平面上一点的极坐标是否唯一？1.不唯一有多少种表示方法？2.坐标不唯一不同是由谁引起的？3.不同的极坐标是否可以写出统一表达式？答案：1.极坐标系的建立需确定几条？极点；极径；长度单位和角度正方向。261.极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数种。是因为极角引起的。2.一

4、点的极坐标有否统一的表达式？有。两坐标系转换极坐标系中的两个坐标r和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值x=r*cos（θ），y=r*sin（θ），由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标r=sqrt(x^2+y^2),θ=arctany/x在x=0的情况下：若y为正数θ=90°（π/2rad);若y为负，则θ=270°(3π/2rad)（rad表示弧度）圆在极坐标系中极坐标系标准方程：ρ=r(常量)或者ρ=e*p/(1-e*cos(θ))。(e=0)。圆心

5、在（r，φ）半径为r的圆的方程为ρ=2rcos（θ-φ）另：圆心M(ρ',θ')半径r的圆的极坐标方程为:(ρ')^2+ρ^2-2ρρ'cos(θ-θ')=r^2根据余弦定理可推得。方程为r（θ）=1的圆椭圆直角坐标系标准方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1。极坐标系标准方程：ρ=e*p/(1-e*cos(θ))。(01)抛物线直角坐标系标准方程：y^2=2

6、*p*x(x>=0)极坐标系标准方程：ρ=p/(1-cos(θ))或ρ=e*p/(1-e*cos(θ))(e>1)四叶草曲线直角坐标系方程：暂无极坐标线方程：ρ=sin(θ)*cos(θ)面积公式：无26直线经过极点的射线由如下方程表示θ=φ，其中φ为射线的倾斜角度，若m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ=arctanm。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。玫瑰线极坐标的玫瑰线（polarrose）是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述，方程如下：r（θ）=a*co

7、skθ或r（θ）=asinkθ，如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘（disc）状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。玫瑰线是极坐标方程ρ=acosnθ或ρ=asinnθ（0≤θ<2π）所表示的曲线。例如，曲线ρ=asin3θ是三叶玫瑰线，ρ=acos2θ是四叶玫瑰线。三叶玫瑰线  方程为r（θ）=2sin4θ的玫瑰线  阿基米德螺线定义：动点

8、沿一直线作等速移动，而此直线又围绕与其直交的轴线作等角速的旋转运动时，动点在该直线的旋转平面上的轨迹。右图为方程r（θ）=θfor0<θ<6π的一条阿基米德螺线。阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示：r（θ）=a+bθ，改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ>0，另一条θ<0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。26一条阿基米德螺线它的极坐标方程为：r=aθ，这种螺线的每条臂的距离永远相等于2π