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1、2.2常见曲线的参数方程第一节圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在兀轴上,9标准方程是鸟+=(a>b>0)的椭圆的参数方程[x=acos（p,/.为参数）[y=bsm（p同样，中心在坐标原点，焦点在y轴上，标准方程是£+*=l(a>b>0)的椭圆的参CT1Tx=bcos(p数方程为｛.为参数)y=asincp2、椭圆参数方程的推导如图，以原点0为圆心，a,b(a>b>o)为半径分别作两个同心圆，设A为大圆上的任•点，连接0A,与小圆交于点B，过点分别作x轴，y轴的垂线，两
2、垂线交于点设以Ox为始边，04为终边的角为0,点M的坐标是(x,y)o那么点A的横坐标为兀，点〃的纵坐标为丁。由于点A,3都在角0的终边上，由三角函数的定义有x= Acos(p-acos(p,y=OBsin(p=hsin(p3x=acos(p当半径04绕点O旋转一周吋，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是｛,为[y=bsin(p参数)这是中心在原点0,焦点在兀轴上的椭圆的参数方程。3、椭圆的参数方程中参数。的意义[x=rcosO圆的参数方程｛.门(&为参数)小的参数&是动点M(x,y)的旋转角，
3、但在椭圆[y=rsin0[x=acoscp的参数方程｛,.为参数)中的参数0不是动点M(x,y)的旋转角，它是动点Iy=bsin(pM(x,y)所对应的闘的半径OA(或OB)的旋转角，称为点M的离心角，不是0M的旋转角，通常规定°w[0,2龙)4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。）x=acos（0xvf."（0为参数，Q>b〉0）,易得一=cos0》=siii0,町以y=bsin（pab22利用平方关系将参数方程中的参数（P化去得到普通方程二+£二
4、1（。〉b>0）crlr22②在椭圆的普通方程务+与=l（d〉b>0）中，令W二COS0,2二sine，从而将普通方程c「trab{x=acos（p为参数，a>b>0）y=bsin（p注：①椭圆屮参数的取值范毎I：由普通方程可知椭圆的范围是：-Ci5x5a,-b5y5b,结合三角函数的有界性可知参数0W[0,2龙）②对于不同的参数，椭I员I的参数方程也冇不同的呈现形式。二、双曲线的参数方程221、以坐标原点。为中心，焦点在兀轴上，标准方程为二一・=l（Q>0,b>0）的双曲线的/lr参数方程为F=为
5、参数）y=btan（p22同样，中心在处标原点，焦点在y轴上，标准方程是•—二=l（d>0,b>0）的双曲线cTb~x=/?tan67,的参数方程为"（0为参数）y=asec（peg>0上>0）为半径分别作同心圆CPC2,设A为関G上任一点，作直线04,过点A作関G的切线AA^x轴交于点川,过圆C?与兀轴的交点B作圆Q的切线〃刃与岂线04交于点刃。过点车刃分别作y轴,兀轴的平行线交于点Mo设0兀为始边,0A为始边的角为0,点、M(x.y),那么点Ax,0Bb,y)因为点A在圆C]上，由圆的参
6、数方程的点A的坐标为(acos°,Qsin0)。所以OA=(dcos%dsin0),AA'=(x-acos(p,-asm(p),因为Q4丄AA',所以0A•AA1=0,从而acos(p(x-acos(p)一(cisin(p)2=0,解得x=,记=sec(pcos(pcos(p则x=asec(po因为点B'在角。的终边上，山三角函数的定义有tan,即y=tan(pbbx—asec(p所以点M的轨迹的参数方程为彳为参数)y=btan卩这是中心在原点0,焦点在兀轴上的双曲线的参数方程。3、双曲线的参数方程
7、中参数。的意义参数0是点M所对应的圆的半径0A的旋转角，成为点M的离心角，而不是0M的旋转角,jr2"通常规定卩丘[0,2龙)，宜(p主一、(p丰——234、双曲线的参数方程中参数。的意义1•2因为一-—-芈纟=1,即sec2tan2^=1,可以利用此关系将普通方程和参数方程COS*"(pCOS-(P互化_[x=asec(pxv①由双曲线的参数方程彳为参数)，易得一=sec%》=tan%可以利用平[y=Z?tan(pab22方关系将参数方程中的参数0化去，得到普通方程冬=1@>0小>0)cr22②在
8、双曲线的普通方程罕—■=l(d>O,b〉O)屮，令-=sec^,-=tan^,从而将普b~ab[x=asec(p通方程化为参数方程*(0为参数)[y=atan(p三、抛物线的参数方程1、以处标原点为顶点，开口向右的抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为x=2pt((为[y=^pt参数)r[x=2pt同样，顶点在处标原点，开口向上的抛物线x2=2py(p>0)的参数方程是彳弋为[y=2pr参数）2、抛物线参数方程的推导：如图设抛物线的普通方程为F=2px（p>0）
