2.2常见曲线的参数方程

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1、.WORD完美.格式编辑.2.2常见曲线的参数方程第一节圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在轴上，标准方程是的椭圆的参数方程为为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在轴上，标准方程是的椭圆的参数方程为为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点为圆心，为半径分别作两个同心圆，设A为大圆上的任一点，连接，与小圆交于点B，过点分别作轴，轴的垂线，两垂线交于点。设以为始边，为终边的角为，点的坐标是。那么点的横坐标为，点的纵坐标为。由于点都在角的终边上，由三角函数的定义有3当半径绕点旋转一周时，就得到了点的轨迹，它

2、的参数方程是为参数）这是中心在原点，焦点在轴上的椭圆的参数方程。3、椭圆的参数方程中参数的意义圆的参数方程为参数）中的参数是动点的旋转角，但在椭圆的参数方程为参数）中的参数不是动点的旋转角，它是动点所对应的圆的半径（或）的旋转角，称为点的离心角，不是的旋转角，通常规定.技术资料.专业整理..WORD完美.格式编辑.4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。①由椭圆的参数方程为参数，，易得，可以利用平方关系将参数方程中的参数化去得到普通方程②在椭圆的普通方程中，令，从而将普通方程化

3、为参数方程为参数，注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：，结合三角函数的有界性可知参数②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。二、双曲线的参数方程1、以坐标原点为中心，焦点在轴上，标准方程为的双曲线的参数方程为为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在轴上，标准方程是的双曲线的参数方程为为参数）2、双曲线参数方程的推导如图，以原点为圆心，为半径分别作同心圆，设为圆上任一点，作直线，过点作圆的切线与轴交于点，过圆与轴的交点作圆的切线与直线交于点。过点分别作轴，轴的平行线交于点。.技术资料.专业整理..W

4、ORD完美.格式编辑.设为始边，为始边的角为，点，那么点因为点A在圆上，由圆的参数方程的点A的坐标为。所以，，因为，所以，从而，解得，记则。因为点在角的终边上，由三角函数的定义有，即所以点M的轨迹的参数方程为为参数）这是中心在原点O，焦点在轴上的双曲线的参数方程。3、双曲线的参数方程中参数的意义参数是点M所对应的圆的半径OA的旋转角，成为点M的离心角，而不是OM的旋转角，通常规定，且4、双曲线的参数方程中参数的意义因为，即，可以利用此关系将普通方程和参数方程互化①由双曲线的参数方程为参数），易得，可以利用平方关系将参数方程中

5、的参数化去，得到普通方程②在双曲线的普通方程中，令，从而将普通方程化为参数方程为参数）三、抛物线的参数方程1、以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为.技术资料.专业整理..WORD完美.格式编辑.为参数）同样，顶点在坐标原点，开口向上的抛物线的参数方程是为参数）2、抛物线参数方程的推导：如图设抛物线的普通方程为，其中表示焦点到准线的距离。设为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线为终边的角为。当在内变化时，点在抛物线上运动，并且对于的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，故可取为参数来探求抛物线的参数方程。由于点在

6、的终边上，根据三角函数的定义可得，即，代入抛物线普通方程可得为参数）这就是抛物线（不包括顶点）的参数方程。如果令，则有为参数）当时，由参数方程表示的点正好是抛物线的顶点，因此当时，参数方程就表示整条抛物线。3、抛物线参数方程中参数的意义是表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。四、例题：例1、已知椭圆的参数方程为为参数），点在椭圆上，对应的参数，点为原点，则直线的斜率为____________.解：当时，故点的坐标为，所以直线的斜率为。.技术资料.专业整理..WORD完美.格式编辑.例2、已知椭圆的参数方程为为

7、参数，），则该椭圆的焦距为________.解：由参数方程得将两式平方相加得椭圆的标准方程为所以焦距为例3、O是坐标原点，P是椭圆为参数）上离心角为所对应的点，那么直线OP的倾斜角的正切值是_________解;把=代入椭圆参数方程为参数），可得P点坐标为，所以直线OP的倾斜角的正切值是例4、已知曲线为参数），为参数）化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；解：，，为圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。例5、设为抛物线上的动点，定点，点为线段的中点，求点的轨迹方程。解

8、：设点，令，则，得抛物线的参数方程为，则动点，定点，由中点坐标公式知点的坐标满足方程组即为参数）.技术资料.专业整理..WORD完美.格式编辑.这就是点的轨迹的参数方程。消去参数化为普通方程是，它是以轴为对称轴，顶点为的抛物线。例6、在椭圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求出最小距离。解