曲线方程的解与求法.doc

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1、曲线方程的理解与求法曲线方程是高中解析几何的一个重要的基本概念，要学好解析几何必须能够正确理解曲线方程的定义，掌握好求曲线方程的方法。1曲线方程的定义在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）与一个二元方程的实数解建立了如下关系：⑴曲线上的点的坐标都是这个方程的解；⑵以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么，这个方程叫做；这条曲线叫做方程的曲线。2定义的解释从定义来看，好象并不难理解曲线的方程，但实际上，我们经常会发现一些学生在求曲线方程时，不知道是在求什么？为什么这样求？为了解决这个问题，在教学中就曲线方程的定义应对学生作进一步的解释：在直角坐标平面上,每一

2、个点都有一个坐标，而某条曲线上有无数个点，这无数个点为什么在这条曲线上呢？显然，这无数个点都应满足一个共同的规律，即它们的坐标应满足一个共同关系式。为了研究它们的规律，我们用含字母的坐标（也可用其它字母表示的坐标如）来表示曲线上的任一点，同时也表示曲线上的某一点。显然，点只是一个代表，既代表了曲线上的所有点，也代表了曲线上的某一点，点所满足的关系式，就是曲线上所有的点满足的一个共同关系式。由于这个关系式通常是等式，且含有两个字母，，故我们把这个关系式叫做“方程”，这就是曲线方程这个名称的由来。3曲线方程的求法由上可知，求曲线方程就是求曲线上任意一点的横坐标与纵坐标之间所满足的关系式。求

3、曲线方程有如下一些常用的方法：3.1已知曲线求方程已知曲线求方程就是已知曲线的形状求曲线方程，具体又有如下两种方法：3.1.1直接求参数法例1已知圆C的圆心是且经过点，求此圆C的方程。分析：因为圆的标准方程中有三个参数，若能直接求出，则圆的方程即可求出。此例中显然可以直接求出。（解略）3.1.2待定系数法例2已知双曲线的焦点在x轴上，且经过点求此双曲线的标准方程。分析：先假设所求的曲线方程为，然后根据题设条件列出含系数的方程，进而求出待定系数，即可求出曲线方程，（解略）。3.2未知曲线求方程未知曲线求方程就是未知曲线的形状求方程，通常按照如下几个步骤来进行：①建立适当的坐标系，用有序实

4、数对比如表示曲线上任意一点M的坐标；②写出适合条件的点M的集合；③用坐标表示条件，列出方程；④化方程为最简形式；⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤⑤可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明。另外，根据情况，也可以省略步骤②，直接列出方程。未知曲线求方程有如下几种常用方法；3.2.1直译法直译法就是根据曲线上的任一点所满足的条件，直接列出方程化简所得。例3已知点，圆C：。动点到圆C的切线长与的比等于常数，求点的轨迹方程。解：如图，设则切线=∵∴，化简此方程即可求得点的轨迹方程。（以下解略）。3.2.2作差法当所求曲线的任一点M

5、是已知曲线上两动点A、B的中点时，可由A、B所满足的方程作差来求出中点M的轨迹方程。例3已知椭圆C：，F是它的上焦点，过F且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程。解：设，且则直线AB的斜率……⑴又⑵－⑶得：整理得：……⑷∵M是AB中点∴……⑸由⑴、⑷、⑸得：化简得：这就是点M的轨迹方程。3.2.3交轨法若所求轨迹上的任一点是由两曲线的交点形成的，则可用交轨法求得所求轨迹的方程。例5已知常数，在矩形ABCD中，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到两点的距离的和为定值

6、？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。解：依题意有设由此有直线OF的方程为…………⑴直线GE的方程为……⑵从⑴、⑵中消去参数，得点的坐标满足方程整理得：当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题材意的两点。当时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆两焦点的距离之和为定长。当时，点P到两焦点的距离之和为定长当时，点P到两焦点的距离之和为定长3.2.4参数法如果所求曲线上的任一点由某个参量所影响，则可用这个参量作参数，先列出它们的参数方程，再消去参数，即可求得它的方程。例6已知椭圆C：，F是它的上焦点，过F且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，点M是线段AB的中点，

7、求点M的轨迹方程。解：（此题与例4同，但此处用参数法求）设，且又设直线AB方程为（为参数）由消去y得：由韦达定理得：∴，又点M也在直线AB上∴即点M的参数方程为消去参数得点M的轨迹方程为：3.2.5定义法虽然有些曲线没有明显指出具体是什么形状，但根据条件可判断出它的形状，此时可设出它的方程，再用相应的方法求出方程。例7如图（一），直线和相交于点M，⊥，点。以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点的距离相等。若△AMN为锐角三角形，，，且