曲线方程及圆锥曲线的综合问题

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1、曲线方程及圆锥曲线的综合问题知识点：1．曲线方程求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：步骤含义说明1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。(1)所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2)没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件P的点M的集合P={M

2、P(M)}这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。3、“代”：代换用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”：化简化方程f(

3、x,y)=0为最简形式。要注意同解变形。5、证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：“建设现(限)代化”2．圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长

4、AB

5、为：若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，

6、AB

7、=

8、AF

9、+

10、BF

11、．8典例解析：题型1：求轨迹方程例1．（1）一动圆与圆

12、外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。（2）双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。变式训练．设P为双曲线y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是。题型2：圆锥曲线中最值和范围问题例2．（1）设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为8，则△F1AB的面积最大为（）A.B.C.D.（2）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是（）A.B.C.2D.（3）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.①求该椭圆

13、的标准方程；②若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；③过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。8变式训练．（1）设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。（2）已知A（3，2）、B（－4，0），P是椭圆上一点，则

14、PA

15、＋

16、PB

17、的最大值为（）A.10B.C.D.题型3：证明问题和对称问题例3．如图，椭圆8＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=.(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：∠ATM=∠AFT。变式训练．椭圆C:的两个焦点为F1,

18、F2,点P在椭圆C上，且8（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程。题型4：知识交汇题例4．已知点,是抛物线上的两个动点,8是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I)证明线段是圆的直径;(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值。变式训练．如图，对每个正整数，是抛物线8上的点，过焦点的直线角抛物线于另一点。（Ⅰ）试证：；（Ⅱ）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点。试证：；8