亚式期权的定价

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1、亚式期权的定价摘要：在标的资产的对数收益非正态的情况下，本文通过时间序列的动态结构推导出股票对数收益的Edge（X，…，X）为（X，…，X）的n阶累积量，其中　　Cum（X，…，X）=（-1）（p-1）!E（X）（2）　　这里v（j）是（1，…，n）的非空子集，v=（v，…，v）为（1，…，n））的任一分割，1≤p≤n.　　特别地，当n=2，3时，　　Cum（X，X）=E（XX）-EXEX，　　Cum（X，X，X）=E（XXX）-EXE（XX）-EXE（XX）-EXE（XX）2EXEXEX　　注：（1）式中的c可用Cum（X，…，X）表示出来，例如　　c=

2、Cum（X，X），c=Cum（X，X，X），…　　2.Edgeax{x，0}.　　类似于文【5】我们给出标的资产对数收益的定义和亚式期权的Esscher价格定义.　　定义3：设（S;t≥0）是标的资产的价格过程，对数收益X由下式定义，　　lnS-lnS=△μ△X，j=1，…，N（3）　　其中T为计算标的资产平均值的起点，N=τ/△，τ=T-T，△为分割的小区间的长度，T为到期日.　　亚式看涨期权在时刻T的Esscher价格定义为　　GA=eE［（S）-K］　　=eE［（S）-K］.　　亚式看跌期权在时刻T的Esscher价格定义为　　GA=eE［K-（S）

3、］.　　由（3）式知　　S=Sexp（△μ△X），　　S=Sexp（2△μ△（XX）），　　?噎　　S=Sexp（N△μ△（XX…X））.　　故　　（S）=Sexp［△μ△N（N-j-1）X］　　=Sexp［μτN（N-j-1）X］.　　于是　　GA=eE［Sexp［μτN（N-j-1）X］-K］.　　GA=eE［K-Sexp［μτN（N-j-1）X］］.　　4.亚式期权的定价　　4.1基本模型　　B-S模型假定标的资产价格服从几何布朗运动，它的波动率为常数.而在实际市场运行中，标的资产的对数收益往往服从非高斯分布且非对称.因此我们假定标的资产的对数收益{

4、X}是相依过程，且满足:　　（A1）{X}是四阶平稳的，即　　（i）EX=0;　　（ii）Cum（X，X）=C（u）;　　（iii）Cum（X，X，X）=C（u，u）;　　（iv）Cum（X，X，X，X）=C（u，u，u）.　　（A2）累积量C（u，u，…，u），k=2，3，4满足　　（1

5、u

6、）

7、C（u，u，…，u）

8、＜∞，j=1，2，…，k-1.　　（A3）

9、u

10、

11、C（u，u，…，u）

12、=o（1），j=1，2，…，k-1.　　（A4）Z的j阶累积量是O（N），其中Z=N（N-j1）X.　　在（A2）下，{X}有k阶累积谱密度，以f表示{X}的第k阶累积

13、谱密度在频率为0的值，即　　f=（2π）C（u，u，…，u），k=2，3，4.　　4.2{X}满足AR模型时的亚式期权定价.　　由前知，（S）的分布依赖于Z=N（N-j-1）X的分布.下面我们来考虑Z的Edgeworth展开式.　　定理1:假定（A1）-（A4）成立，则Z=（πf）Z的密度函数的3阶Edgeworth展开为　　g（z）=φ（z）{1N（1-）H（z）NH（z）NH（z）}o（N）.（4）　　其中?准（g）为标准正态分布的密度函数，H（