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1、第7卷第6期管 理 科 学 学 报Vol.7No.62004年12月JOURNALOFMANAGEMENTSCIENCESINCHINADec.2004①亚式期权在依赖时间的参数下的定价詹惠蓉,程乾生(北京大学数学科学学院,北京100871)摘要:假定标的资产价格模型中的参数为时间t的函数(即无风险利率r(t),标的资产的期望收益率μ(t),波动率σ(t)及红利率g(t)),利用风险中性定价及随机积分的性质,得到连续几何平均欧式亚式期权在六种情形下价格的解析公式和一个平价关系,且通过调整执行价格的形式
2、而得到固定执行价格的连续算术平均欧式亚式期权的渐进公式.关键词:亚式期权;风险中性定价;平价关系;几何平均;算术平均中图分类号:O21116;F83019 文献标识码:A 文章编号:1007-9807(2004)06-0024-060 引 言计中可作为控制变量而大大地减小估计的方差,也可通过它得到算术平均时的渐进公式.亚式期权(Asianoptions)是几种最常见的新上面的研究都建立在假设标的资产价格模型型期权中的一种,由于它首先由日本金融市场创的参数为常数的前提下,这对短期期权的定价影造并使用
3、,故被称为亚式期权[1].它主要在场外交响不大,但对期限较长的期权,若假设无风险利率易,在股票、商品、利率、外汇及能源,尤其是电力和标的资产的收益率、波动率常数显然不合理.尽工业上有广泛应用.因它的收益函数与标的资产管已有文献研究并得到了标的资产服从依赖时间价格的平均值有关,故又被称为平均期权.它的种的参数模型下的欧式期权价格的解析公[1,13～15]类很多,按平均的类型可分为几何平均和算术平式,但相应的亚式期权的定价目前还没有均亚式期权;按交割日的不同可分为欧式和美式系统的研究.的两种;按股价的抽样
4、类型可分为离散型和连续本文在标的资产服从依赖时间的参数模型型;按期权有效时间和平均期间的起始时刻的关下,利用风险中性定价和随机积分的性质,首先通系可分为平凡的(plainvanilla),远期开始的(for2过调整执行价格的渐进法,得到固定执行价格的wardstart)和进展中的(inprogress)三种;按执行价连续算术平均的亚式期权价格的渐进公式.格的类型可分为固定执行价格(fixed-strike)和浮为简单计,下文将依赖时间的参数下的连续动执行价格(floating-strike).市场上交
5、易的亚式期几何平均欧式亚式期权简称为期权.权大都是算术平均类型的,但其价格并没有解析[2～4]表达式,通常采用蒙特卡罗模拟,改进的二叉1 固定执行价格期权的定价[5,6][7～10]树及PDE方法来求值或是通过逼近算[11,12]术平均的分布得到价格的解析渐进公式.值假定金融市场仅有两种资产:一种是无风险得注意的是,几何平均亚式期权的价格一般有解资产如政府债券和银行存款,且债券价格过程满析公式,由于有类似的性质,故它在算术平均亚式足方程:dBt=r(t)Btdt,BT=1,其中r(t)为无期权的定价中
6、起了重要的作用,如在蒙特卡罗估风险利率.另一种资产是风险资产且其价格过程①收稿日期:2002-07-17;修订日期:2004-04-01.作者简介:詹惠蓉(1976—),女,浙江杭州人,博士,北京外国语大学国际商学院讲师.第6期 詹惠蓉等:亚式期权在依赖时间的参数下的定价—25—满足方程则根据随机积分的性质,易知x,у的期望μx,μуdS22t=St[μ(t)-g(t)]dt+Stσ(t)dWt(1)方差σx,σу分别是其中:μ(t)、σ(t)和g(t)分别为风险资产的期望T1μx
7、=A(s)(T-s)ds,收益率、波动率和红利率.{Wt,0≤t≤T}是定义T-t∫tT在概率空间(Ω,F,P)上的标准布朗运动,其中μу=∫A(s)dst{Ft,0≤t≤T}为由{Wt,0≤t≤T}产生的自然T2122σ-域.σx=(T-t)2∫σ(s)(T-s)ds,tT假定r(t),g(t),μ(t),σ(t)>0均为非随机22σу=∫σ(s)ds函数且满足tTT若将x,у中的t改为t1,则分别得到相应的x1,у1,r(t)dt<∞,g(t)dt<∞,22∫0∫0μx,μу,σx,σу.1111
8、TT∫μ(t)dt<∞,∫σ2(t)dt<∞令ω={1,-1},其中:ω=1表示看涨期权,00ω=-1表示看跌期权.另外假定0≤t0≤t≤t1≤T,t表示期权有效期定理11)在平凡情形下,固定执行价格期间的起始时刻,T表示期权到期时刻.文中的平权在t时的价格公式为凡,远期开始和进展中三种情形意味着平均区间V1(t,St,μx,σx,K)=μ(s)-r(s)从时刻t,t1,t0开始.令θ(s)=σ(s),且12ωR[Stexp(μx+σx)N(ωd2)-T
