参数依赖股票价格情形下的回望期权定价_李志广

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1、数学杂志Vol.32(2012)J.ofMath.(PRC)No.6参数依赖股票价格情形下的回望期权定价李志广(大同大学数学与计算机科学学院,山西大同037009)摘要:本文研究了非线性模型下回望期权定价问题.利用泰勒近似处理,构造了回望期权的形式渐进解,推广了Black-Scholes模型有关回望期权的结论.关键词:布朗运动;期权定价;修正的Black-Scholes模型;回望期权MR(2010)主题分类号:60H10;90A06中图分类号:O211.6文献标识码:A文章编号:0255-7797

2、(2012)06-1091-091引言回望期权就是期权到期日持有人可以“回望”期权的有效期内原生资产价格的整个历程,选取最低(高)的原生资产价格作为执行价格,购进(出售)原生资产,回望看涨期权和回望看跌期权在到期日T的收益分别为:ST¡minSt和maxSt¡ST.亦称它为“买进按低价,0·t·T0·t·T卖出按高价”期权或标准回望期权.回望期权又是强路径有关期权,它的敲定价格依赖于整个“回望期”内的原生资产的价格,讨论的是具有浮动敲定价格的回望看跌期权,由于该期权收益高,价格十分昂贵,所以更准确

3、地对该期权进行定价,具有十分重要的意义.1973年,Black和Scholes假定股票的价格服从几何布朗运动,用无套利复制的方法得出了著名的B-S公式.在此模型假设的基础上,回望期权的研究已经相当的全面.文献[1]得出了回望期权的定价公式,文献[2{5]将这一公式加以推广.到现在为止,大部分的理论研究还停留在基于这种Black-Scholes模型下的结论之上.1975年,Cox提出了期权定价的CEV模型[6],Cox指出“波动率微笑”的缘由便是股票价格变动与波动之间的变化是负相关的,Cox提出的C

4、EV期权定价模型恰好分离出了这种负相关关系,因此将CEV模型用于期权定价,尤其是路径依赖期权是一种十分明智的做法.但是,目前有关于CEV模型下期权定价的结论都集中在了标准的欧式期权,例如:Cox证明了当¯=0:5时的结论[6¡8],Hsu、Lin和Lee应用Fokker-planck方程证明了当¯>1时的结论[9¡10],而当¯<1时的结论早已被Campbell和Glosten[11]、Brandt和Kang[12]等人分别解出.而由于该模型相对比较复杂,传统的方法还不能处理回望期权,因此在CEV

5、模型下,回望期权定价的文献还没有出现.近些年来的发展,关于期权定价的经济模型不仅仅是这些.本文将这些模型更一般化,将股票的期望收益率描述为股票价格的连续函数,波动率描述为股票价格的n阶可导函数,这样一来,在这种假设之下CEV模型的缺陷就不存在了.运用求解偏微分方程的方法得到了回望期权的定价公式.文中所用的方法同样适用于其他期权,比如欧式期权、障碍期权.¤收稿日期:2011-05-18接收日期:2011-09-29作者简介:李志广(1979{),男,河北阳原,硕士，讲师，研究方向：分布参数控制理论.

6、1092数学杂志Vol.322改进的B-S偏微分方程本文考虑如下改进的Black-Scholes期权定价模型dSt=¹(St)Stdt+¾(St)StdWt;(2.1)dMt=rMtdt;(2.2)其中Wt是定义在完备概率空间(•;F;P)上的布朗运动.股票期望收益率¹(St)和波动率¾(St)都为股票价格的一般函数,并假定函数¹(¢)在R上连续,¾(¢)为n阶可导函数,常数r为金融市场的无风险利率.当函数¹(St)和¾(St)为常数时,该模型退化为经典的Black-Scholes期权定价模型,当

7、函数¹(S)为常数,¾(x)=¾x¯¡1时(¾和¯为常数),模型(2.1){(2.2)退化为Cox和Rosst00提出的CEV模型[5].令Jt表示回望期权的路径变量,因此对于回望看涨期权有St·Jt=maxSt;而对于回0·t·T望看跌期权,有St¸Jt=minSt:0·t·T考虑到期日为T的回望期权,并假设该期权的价格为V=V(t;St;Jt),则有下面的引理成立.引理2.1回望看涨期权的无套利价格V(t;St;Jt)满足如下定解问题@V1@2V@V22+¾(S)S+rS¡rV=0;0

8、<+1;0