概率论基础阶导数应用笔记

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1、一阶导数应用1、函数的极值①P82，定义：如在邻域内，恒有，，则称为函数的一个极大（小）值。可能极值点，不存在的点与的点。（驻点）驻点←极值点极小值极大值②判别方法P82，ⅰ、导数变号。ⅱ、，例1、设满足关系式，且,，则在点处AA、取得极大值B、取得最小值C、在某邻域内单增D、在某邻域内单减例2、已知函数对一切满足如，，则AA、是的极小值B、是的极大值C、是曲线的拐点D、不是的极值，也不是曲线的拐点例3、设函数在的某邻域内可导，且，，则是的极大值。2、函数的最大值与最小值(1)求出内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端

2、点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。(2)在内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值如是极大值则为最大值(3)如分别为最小,最大值(4)实际问题据题意可不判别。例1、在抛物线上的第一象限部分求一点P，过P点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。解：设切点为，切线方程为即∴三角形面积：，令（唯一）∴故为所求点3、曲线的凹凸、拐点及渐近线在I上可导如则曲线是凹（凸）的,在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。可能的拐点和不存在的点例1、设，试讨论的性态。x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+∞)y’+0

3、-间断+0+y’’----0+y单调增上凸极大值单减上凸单增上凸拐点(1,0)单增下凸渐近线如则称为水平渐近线如则称为垂直渐近线例2、求渐近线（斜渐近线不讨论）解：∵∴为水平渐近线∵∴垂直渐近线例1、曲线的渐近线有4条4证明不等式（1）利用中值定理（R，L）；（2）利用函数单调性；（3）利用最值；（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；（5）利用函数凹凸性；（6）利用泰勒公式。例1、当，试证：即证：设，在连续，可导，由拉格朗日中值定理∵，即∴例2、设，证明证：设单增，当∴设单增，当∴例3、当证明证：令驻点唯一，∵∴极小∴为最小值即例4、

4、P91，习题22当证明证:设令,驻点唯一,当,→在上最大值为,最小值为∴例4、设，证明证明：即证设，时∴单减当即例5、设在上可导，且单调减，证明：，证：令∵单调减，，∴，即单调减，即