概率论基础导数概念笔记

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1、一、导数概念（）10定义　　　　　左导数右导数∴可以证明：可导→连续。即可导是连续的充分条件。连续是可导的必要条件。1920导数的几何意义曲线在点处切线：　例1：讨论在x=0处可导性解：∵在x=0连续　　　　不存在∴　在x=0不可导例2：已知存在则19例3：设函数可微，则例4：P63例2-5设为使在x=x0处可导，应如何选取常数a、b解：首先必须在x0连续∴　①（由①得）∵　　存在∴　从而　19例5：=x(x-1)(x-2)……(x-9),则∵例6：设在x=0领域内连续，，则∵（分母→0）∴19例7：设函数f(1+x)=af(x)，且(a,b≠

2、0)，问存在否?解：　　　　19二、导数的求法10显函数导数求一个显函数的导数需解决：①基本初等函数导数(P64);②导数四则运算法则(P65);③复合函数与反函数求导法则(P66)。定理：在X有导数，在对应点u有导数，则复合函数在X处也有导数，。例1：求解：19例2：求解：例3：求解：例4：求解：例5：求解：19例6：求解：例7：求解：例8：求解：19例9：求解：高阶导数、二阶：例10：，求解：先讲微分（后页）1920隐函数导数参数方程导数如方程F(x，y)=0确定了y=y(x)，只需方程两边对x求导，注意y=y(x)例10：求下列隐函数的导

3、数（1）设求解：方程两边对x求导，（2）设是由方程所确定的隐函数，求解：由原方程知当x=0时，，方程两边对x求导。，将x=0，代入得：∴19(3)是由方程所确定的隐函数,试求,。解:方程两边对x求导：①方程两边再对x求导：②由原方程知，当时，，代入①得再将，，代入②式，得19(4)设求解：(5)设是由方程组所确定的函数，求：。解：19(6)P90习题1330分段函数的导数1)设求：解：当∴不存在，故高阶导数（n阶）略，19例2)设在（）上具有二阶连续导数，且，对函数(1)确定的值，使在（）上连续(2)对（1）中确定的，证明在（）上一阶导数连续解

4、：①即当在连续，也就是在（）连续②而在连续,即在连续19三、微分一阶微分形式不变（自变量）如(中间变量)例：，，可导可微19三、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲）1．罗尔定理如满足：（1）在连续.（2）在可导.（3）则至少存在一点使例设，则在区间（-1，0）内，方程有2个实根；在（-1，1）内有2个根例设在[0，1]可导，且，证明存在，使。证：设在[a,b]可导，∴存在使即19例设在[0，1]可导，且,证明存在。解:设，且由罗尔定理存在使即，亦即例P91习题29设192、拉格朗日中值定理如满足：①在[a,b]连续；②在（a,b）连续，则存在

5、使。推论：⑴如果在区间I上，则⑵如果在区间I上，在Ｉ单增（减）例　对任意满足的x，都有设∵∴∵∴19例设，证明19