概率论基础阶导数应用笔记.doc

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1、一阶导数应用1、函数的极值①P82,定义：如在X。邻域内，恒有f(x)f(x0)),则称f(x(J为函数f(x)的一个极大(小)值。可能极值点，f/(x)不存在的点与fz(x)=0的点。(驻点)驻点一极值点②判别方法P82,i、导数变号。f(xo)>O极小值f(x0)<0极大值例1、设y=f(x)满足关系式y〃_2y/+4y=0,且f(x)>0,f/(x())=0,则f(x)在x()点处J_A、取得极大值取得最小值C、在X。某邻域内单增D、在X。某邻域内单减例2、已知函数f(x)对一切

2、x满足xf〃(x)+3xfz(x)2=1-e"x如fz(xo)=O,(x°H0),则_A_A、f(x0)是f(x)的极小值B、f(x0)是f(x)的极大值C、(x°、f(x0))是曲线的拐点D、f(x0)不是f(x)的极值，(x°、f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点例3、设函数f(x)在x=0的某邻域内可导，且珥0)=0,1而匕°=一丄，则f(0)是f(x)的极厶值。xT()sinx22、函数的最大值与最小值(1)求岀［a,b］内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较

3、，其中最大的(小)为最大(小)值。(2)在(a,b)内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值如是极大值则为最大值⑶如f'>0(

4、x「+4x2+42x三角形面积：cv1(X，+4)2_1316S(x)=一•=一(x+8xh),0

5、8-^),令Sz(x)=0>02x=—(唯一)V34xQ三)为所求点3、曲线的凹凸、拐点及渐近线在I上f(x)可导如f〃(x)>0(<0)则曲线y=f(x)是凹(凸)的，在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。可能的拐点f〃(x)=O和f〃(x)不存在的点例1、设f(x)=试讨论f(x)的性态。f/(x)=(x「l)[x+2),f//(x)=6(x^1)f/(x)=Ox=l,x=・2,f〃(x)=O,x=lX(-00,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+8)y+0—间断+0+y————0+y单调增上凸

6、极大值单减上凸单增上凸拐点(1,0)单增下凸渐近线如limf(x)=a则称y=a为水平渐近线XT8~如limf(x)=oo则称x=x()为垂直渐近线XTKo例2、求y、_i)2渐近线(斜渐近线不讨论)解:・・・limXT82x一1(X—序=0例4、丁limXTl2x-1(X—I)'=00・・・y=0为水平渐近线・・・X=1垂直渐近线曲线y=(x-l)(x+2)的渐近线有4条4证明不等式（1）利用中值定理（R,L）；（2）利用函数单调性；（3）利用最值；（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式;（5）利用函数凹

7、凸性；（6）利用泰勒公式。例1、当0vavb,试证：吐吐彳baa口口1Inb-Ina1即_v<-bb-aa证：设y=lnx,在［a,b］连续，(a，b)可导，由拉格朗日中值定理..1Z1、nnInb-Ina1#.Tlnb-lna=—(b-a),即=—a0,证明0f(x)>f(0)=0・•・x>ln(l+x)设f(x)=ln(l+x)1+x

8、1(1+x)2~(1+X)2f(x)单增，当x>0f(x)>f(0)=0ln(l+x)>1+x例3、当x>0x2+1>lnx证：令f(x)=X，+1-lnxOx21(x>0)T(x)=Xf/(x)=07驻点唯一，f//(x)=x+-lr>0・•・f(丄)为最小值a/2即x>0f(x)>fJ=-

9、+^ln2>0例4、P91,习题22当01证明2,_p

10、(o)=f(l)=l,f-二〒"p当P〉1,1>右〜f(x)在［0,1］上最大值为1,最小值为2宀・•・21_pP>e,证明证明:InaaIn卩设f(x)=lnxxx>ef/(x)=1-lnx<0xP即卩a>a卩Inaalnp例6、设f(x)在[o,c]上可导，且f/(x)单调减，f(o)=o证明：f(a+b