一阶导数的应用

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1、课题九一阶导数的应用课题九一阶导数的应用【授课时数】总时数：4学时。【学习目标】1、会判断函数的单调性；2、会求函数的极值；3、会用导数求解实际问题的最值问题。【重、难点】重点：用导数判断函数的单调性和极值，由函数导数的正负引出。难点：解最大值与最小值的实际应用题，由实例讲解方法。【授课内容】前面我们学习了函数与导数的关系，下面我们再来研究函数的单调性和极值的判别方法。一、函数的单调性与极值1．函数的单调性(1)定义: (2)判断定理：设函数y=f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，在开区间

2、(a ,b )内可导，有①若xÎ(a ,b )时，f¢(x )>0 (或f ¢(x )³0 )，则y=f (x )在[a ,b ]上单调增加；②若xÎ(a ,b )时，f¢(x )<0 (或f ¢(x )£0 )，则y=f (x )在[a ,b ]上单调减少；③若xÎ(a ,b )时，f ¢(x )=0 ，则y=f (x )在[a ,b ]上为常数（不增也不减）。例1．判断函数y=x -sinx 在[0 ,2 p]上的单调性。例2．求下列函数的单调区间：3232⑴f (x )=x -6 x +9

3、 x -5 ⑵f(x )=x (3)步骤：2．函数的极值(1)定义：(2)函数极值存在的判断定理：①必要条件：②第一充分条件：32例3．求f (x )=2 x -9 x +12 x -3 的极值。第1 页共3 页课题九一阶导数的应用③第二充分条件：例4．求函数f(x )=1x 3-x 的极值。33．一般步骤：332例5．求下列函数f(x )=x -x 的单调区间和极值。21例6．证明：当x >1时，2x>3-x 3t思考题．某项目的利润有两个方案供选择，它们的关系是L (t)=与1t+12t L

4、 (t )=，其中t为时间。问t=1时，二方案哪个最优？2t +1 二、最大值和最小值问题在工农业生产和科学研究、经营管理中，常常要解决在一定条件下“用料最省”、“产量最多：”、“效率最高”和“成本最低”等最优化问题。1．闭区间上连续函数的最值：(1)定义: (2)方法（步骤）：①求出函数y=f (x )在相应的开区间内的所有极值；②求出区间端点的函数值；③比较求出的所有值，最大的为最大值，最小的为最小值。特别：若连续单增（或单减）函数的最值在端点处取得。42例8．求函数f (x )=x -4 

5、x -5 ，在x Î[-1 ,3 ]上的最值。2例9．求函数f(x )=1 -ln(1 +x )在[1 ,2 ]的最值。2 x 练习：求函数f(x )=e 在[-1 ,2 ]上的最值。2．开区间内可导函数的最值：在开区间内可导且有唯一极值的函数，若该极值为极大值则为最大值；若该极值为极小值则为最小值。2 -x 例10．求函数f(x )=e 在x Î(-1 ,3 )的最值。3．函数最值的应用例11．[例11]某工厂需把一长12m，宽6m，高2m的铁制水箱吊起平放在6m高的柱子上，但厂里只第2 页共

6、3 页课题九一阶导数的应用有一台臂长15m的吊车，吊车底座高1.5m，能否将水箱吊到柱子上？例12．铁路线上AB段距离为100千米，工厂C距A处为20千米，AC⊥AB。为了运输需要，要在铁路沿线选一点D向工厂修筑一条公路，若铁路与公路的每千米的运费之比为3:5，为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，则D应建在何处？例13．某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10 元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问

7、房租定为多少可获得最大收入？22例14．由直线y =0，x =8 及抛物线y=x 围成一个曲边三角形，在曲边y=x 上求一点，使曲线在该点处的切线与直线y =0，x =8 所围成三角形的面积最大。【授课小结】通过本课题学习，学生应该达到：1．会用导数判断函数的单调性和极值；2．会用导数求解实际问题的最值问题。【课后练习】1．P031习题2.6；2．P034习题2.7。第3 页共3 页