概率论基础导数概念笔记.doc

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1、1°定义f/(Xo)=lim型Ax->0Ax=limf(x()+Ax)-f(x°)Ax->0Ax=limf(x)-f(x0)XTX()X—Xq]・f(x+Ax)-f(x)f(X)-f(Xo)X・X0f(x)-f(x°)X-Xq△xtOAx左导数f/(x)=nmf(xo+Ax)-f(xo)=lim△xT(rAxX->X()_右导数f仏)=limf(Xo+Ax)-f(Xo)=lim△x->()+Axx->xq・•・fZ(x0)=Aof<(x0)=f[(xo)=A可以证明:可导一连续。即可导是连续的充分条件。连续是可导的必要条件。2°导数的几何意义曲线y=f(x)在

2、点(x0,y0)处切线:y-yo=f/(xoXx-x())例1：讨论f(x)=xsin7灭工°在烂0处可导性0x=0解：Tlimf(x)=limxsin—=0=f(0)xtOxtOXf(x)在x=0连续vf(x)-f(0)r.1才才卄lim—=limsin—不存在x->0x-0xtOx/.f(x)在x=0不可导例2：已知f/(xo)存在limf(xo+2h)-f(xo)=2fhTOh—limf(xo-5h)-f(Xo)=_5fhT()h—limf(x°+3h)-f(x°-h)=Hmf(x°+3h)・f(x°)_f(x°—h)・f(x°)h->0hhTOhh例3

3、：设函数f（x）可微,则limAx->0f2(x+Ax)・f"x)Ax=2f(x)F(x)例4：P63例2・5X2X0为使f(x)在X=Xo处可导，应如何选取常数a、b解：首先f(x)必须在Xo连续limf(x)=limx2=XqX—>Xq"XTX0-limf(x)=limax+b=ax0+bXTX°+XTX°+/.ax+b=x：①f/(x)=limf(x)-f(x0)_lim22X—XoXTX（「x・Xox->x（「x・x°—:limx+x（）=2x（）f仏)=limf(x)-f(x0)_lim2ax+b・x°+XTXOx・X

4、oXTXO+X-XolimXTX()+ax-ax0=ax・Xo（由①得）f/（Xo）存在a=2x0从而b=-x0例5：f(x)=x(x-l)(x-2)(x-9),则fz(0)=-9!・・・f/(0)=恤虫也x->ox-0=lim(x-l)(x-2)AA(x-9)=-9!xtO例6：设f⑴在x=0领域内连续，巴）册"f(0)=limf(x)=0xtOxtOXf(x)Jl+x-1例7：设函数f(l+x)=af(x),且f/(O)=b(a,b#0),问/(1)存在否？解：f/⑴=limf(1+Ax)~f(1)=limatW)-af(0)cAx->0AxAx-^0Ax

5、=lima=at(0)=ab△xtOAx二、导数的求法1°显函数导数求一个显函数的导数需解决：%1基本初等函数导数(PG;%1导数四则运算法则(PQ;%1复合函数与反函数求导法则(卩66)o定理：u=(p(x)在X有导数竺，dxy=f(u)在对应点u有导数鱼，du则复合函数y=f[—l+x2ax1+——例2：y=l

6、nVl+x2^解：y=-ln（l+x2）求y/2x_x1+x21+x2例3：y=arctgVx求y/例5：y=ln'（2x+l）求y，解：y/=31n2（2x+l）«—2x+1y=^x+Jx-h/x解:2-/x+Vx+Vx"-1+/12jx+Vx"例7:y=xsinx求y/解：y=esinx-lnxy/=xsinx/•、sinx.+cosx•lnx

7、lne2x-ln(e2x+1)=/

8、12e2x1

9、y=1—•=2e2x+ll+e2x高阶导数、二阶：dx2

10、x=x0lim△xtOlimf/(xof/(x)Ax)f/(x())Axf/(x0)XTX°Xdx例10：y=f(e2x),fz(x)=ln解：虬啤竺dxde2xdx=fZ(e2x)-2e2x=lne2x-2e2x=4xe：先讲微分(后页)2°隐函数导数参数方程导数如方程F(x,y)=0确定了y=y(x),只需方程两边对x求导，注意y=y(x)例10：求下列隐函数的导数(1)设ysinx-cos(x-y)=0求y，解：方程两边对x求导，yZsinx+ycosx+sin(x-y)«(l-y/)=0y)/_

11、ycosx+sin(x一sin(x一y