概率论基础定积分概念笔记

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1、第五次P141.习题3、2、29、301、解：2、习题4，(11)解：3、P109，例3.5，习题3，选择题4、5、设，则1930有理函数积分→真分式→部分分式部分分式：其中：5、解：令令∴196、P112例3.6(4),(5)7P142习题6(3),(4)40三角有理式积分令8、199、6、设的原函数恒正，且，当，有，求解：由得C=1∴∴19定积分的概念一、定义及性质<定义>：，注意(1)积分区间有限，被积函数有界；(2)与“分法”、“取法”无关；(3)定积分的值与积分变量的选取无关；(4)在有界是在可积的必要条件，在连

2、续是在可积的充分条件。<几何意义>：在几何上表示介于，，，之间各部分面积的代数和。补充规定<性质>P115，性质（1）—（9）其中(8)为估计定理：在，，则(9)中值定理：如在连续，，使例1、利用定积分几何意义，求定积分值上式表示介于,,,之间面积19例2、（估计积分值）证明证：在上最大值为，最小值为2∴∴19二、基本定理牛顿—莱伯尼兹公式10变上限积分基本定理：设在连续，为上任意一点，则是可导函数，且即说明为的一个原函数。例3、已知,,,,，求：解：例4、19例5、有极大值的点为DA.B.C.D.例6、如,则BA.B.C

3、.D.例7、P117例3.11例8、设在上连续，且,证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数证：20定积分计算①牛顿莱伯尼兹公式<定理>设在连续。为在上的任意一个原函数，则有②定积分换元法与分部积分法1930奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质(1)在连续，当为偶数，则当为奇函数，则(2)，以T为周期说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。例9、原式例10、例11、19例12、设则A、B、C、D、例13、加P124例3.18例14、设19法二设原式例15、设为连续函数，且求解：设则两边积分∴(、在连续，且

4、求、的表达式答案：)19例16、设，求解：令(∵)∴例17、设求解：19例18、已知在上二阶可导，且，及求解：原式例19、设在连续证明：证：右边=例20、设求解：19例21、设连续，，且求，并讨论在处连续性解：得令∴∴在连续即在连续19例22、试证方程在内有且仅有一实根证：设在连续且由介值定理，使F(ζ)=0即F(x)=0有根又∵，单增∴根唯一例23、设在，连续试证：内至少一点，使证：设则在可导中值在上满足罗尔定理条件∴至少存在一点ζ，使即亦即例24、P128例3.23(1)(3)19例25、例26习题3.11设在连续，可

5、导，且，证明在内，有证：在单调减，故19三、定积分应用P1321°平面图形面积(ⅰ)直角坐标：P134例3.26，例3.27例1习题321求抛物线及其点和处的切线所围成图形的面积解：在点处，，切线方程在点处，，切线方程得交点（ii）极坐标19例2、求由曲线所围图形公共部分的面积解：两曲线的交点+192°旋转体体积由所围平面图形绕轴旋转一周所生成的立体体积，由所围平面图形绕旋转一周所得旋转体体积例3、过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积解：设切点为切线方程（3,1）Q切点在切线上，∴0

6、123，∴切线方程：19