概率论基础导数概念笔记

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1、一、导数概念()10定义     左导数右导数∴可以证明:可导→连续。即可导是连续的充分条件。连续是可导的必要条件。1920导数的几何意义曲线在点处切线: 例1:讨论在x=0处可导性解:∵在x=0连续    不存在∴ 在x=0不可导例2:已知存在则19例3:设函数可微,则例4:P63例2-5设为使在x=x0处可导,应如何选取常数a、b解:首先必须在x0连续∴ ①(由①得)∵  存在∴ 从而 19例5:=x(x-1)(x-2)……(x-9),则∵例6:设在x=0领域内连续,,则∵(分母→0)∴19例7:设函数f(1+x)=af(x),且(a,b≠0),问存在否?解:   

2、 19二、导数的求法10显函数导数求一个显函数的导数需解决:①基本初等函数导数(P64);②导数四则运算法则(P65);③复合函数与反函数求导法则(P66)。定理:在X有导数,在对应点u有导数,则复合函数在X处也有导数,。例1:求解:19例2:求解:例3:求解:例4:求解:例5:求解:19例6:求解:例7:求解:例8:求解:19例9:求解:高阶导数、二阶:例10:,求解:先讲微分(后页)1920隐函数导数参数方程导数如方程F(x,y)=0确定了y=y(x),只需方程两边对x求导,注意y=y(x)例10:求下列隐函数的导数(1)设求解:方程两边对x求导,(2)设是由方程所

3、确定的隐函数,求解:由原方程知当x=0时,,方程两边对x求导。,将x=0,代入得:∴19(3)是由方程所确定的隐函数,试求,。解:方程两边对x求导:①方程两边再对x求导:②由原方程知,当时,,代入①得再将,,代入②式,得19(4)设求解:(5)设是由方程组所确定的函数,求:。解:19(6)P90习题1330分段函数的导数1)设求:解:当∴不存在,故高阶导数(n阶)略,19例2)设在()上具有二阶连续导数,且,对函数(1)确定的值,使在()上连续(2)对(1)中确定的,证明在()上一阶导数连续解:①即当在连续,也就是在()连续②而在连续,即在连续19三、微分一阶微分形式不

4、变(自变量)如(中间变量)例:,,可导可微19三、中值定理,泰勒公式(放入泰勒级数中讲)1.罗尔定理如满足:(1)在连续.(2)在可导.(3)则至少存在一点使例设,则在区间(-1,0)内,方程有2个实根;在(-1,1)内有2个根例设在[0,1]可导,且,证明存在,使。证:设在[a,b]可导,∴存在使即19例设在[0,1]可导,且,证明存在。解:设,且由罗尔定理存在使即,亦即例P91习题29设192、拉格朗日中值定理如满足:①在[a,b]连续;②在(a,b)连续,则存在使。推论:⑴如果在区间I上,则⑵如果在区间I上,在I单增(减)例 对任意满足的x,都有设∵∴∵∴19例设

5、,证明19

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