概率论基础无穷级数笔记

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1、第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义P264称为一般项或通项称为前n项部分和例1、2、定义如收敛，则收敛3、几个重要极限等比级数（几何），当收敛，发散；P级数收敛，发散；当，又称调和级数。4、级数性质P266性质5是级数收敛的必要条件即收敛例1、发散，∵例2、发散，∵例3、发散，但20正项级数判别法正项级数部分和数列单调递增∴正项级数收敛部分和数列有上界1、比较判别法设，如收敛，则收敛如发散，则发散例、判别下列级数敛散性（1）（2）解（1）由于∵发散，∴原级数发散（2）由于，而收敛，∴原级数收敛比较判别法的极限形式如则有时，，

2、同时收敛，同时发散A=0如收敛，则收敛A=+∞如收敛，则收敛判别下列级数敛散性例、又发散，∴原级数发散例、（1）（2）（3）解：（1）由（2）∵收敛∴原级数收敛（3）∵∵发散，∴发散例、P271例7.77.82、比判别法设正项级数的一般项满足则当时，级数收敛，时发散，不定3、根值法设为正项级数，如则当时，级数收敛，时发散，不定正项级数判别其敛散性的步骤：需进一步判别发散首先考察①如中含或的乘积通常选用比值法；②如是以为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法；③如含形如（α可以不是整数）因子，通常用比较法；④利用级数性质判别其敛散性；⑤

3、据定义判别级数敛散性，考察是否存在，实际上考察是否有上界。例、判别下列级数的敛散性（1）（2）（3）设（4）（5）（6）（7）（8）解：（1）收敛（2）方法一：收敛方法二：∵收敛∴原级数收敛∴级数收敛收敛（3）当发散发散为公比的等比级数∴收敛（4）∵∵收敛，∴原级数收敛（5）∴对∵∴收敛，又由比较判别法知原级数收敛（6），由此值法知收敛∴原级数收敛3°交错级数的敛散性的判别法如，则称为交错级数。莱伯尼兹判别法：如交错级数满足：(i)(ii)则收敛，且和例、判断下列级数的敛散性。1P274例7.132解：①②∴收敛3解：①∵②∴即∴收敛4

4、°绝对收敛与条件收敛定义P275为任意项级数如收敛称绝对收敛如发散收敛称条件收敛定理，如收敛→必收敛例、P276例7.177.18例、判断级数的敛散性，如收敛，是绝对收敛还是条件收敛(1)(2)解：(1)∴原级数收敛，且绝对收敛。解：(2)原级数绝对收敛①②原级数发散原级数为为交错级数收敛而发散∴条件收敛习题七，8