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《概率论基础多元函数的积分笔记.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、4、二元函数的极值、最值1°极值定义P208f（x、y）0极小值>0非极值=0不定例1、求z=x‘+y3-3xy的极值解：f；=3x2-3y,f；=3y2-3x,f=6x得驻点(o,o),(i,1)在(0,0),B2-AC
2、(oo)=(-3
3、)2-O=9>O・•・f(o,o)非极值(1,1),B2-AC
4、(1j)=(-3)2-36<0・•・(1,1)为极值点XA
5、(1J)=6>0・・・f(l,1)=-1为极小值例2、求z=x?y（5-x-y）在闭区域D：x>0,y>0,x+y54的最大，最小值。解：f；=xy（10-3x-2y）,f；=x2（5-x-2y）xy（10-3x-2y）=0(在D内)5x=—2z_5在D的内部函数只有-个驻点七引62564x2（5-x-2y）=0在边界x=0,f=0在y=0,f=0在x+y=4,z=x2（4-xX5-x-4+x）=x2（
6、4-x）=4x2-x3——=8x-3x2=0得：x=—,即x=—,y二纟为驻点dx333拥上型比较"竺，z=0,亠(33丿276427得最大值z=—,最小值z=()64在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数的口变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这些条件由函数的各口变量Z间的一些方程来表示。例3、求原点到曲线(p(x,y)=0的最大距离此题即在条件(p(x,y)=0下求z=Jx?+y?的最小值问题2°条件极值、拉格朗日乘数法在实际问题中可根据题意來确定最值而不需判别求在条件(p(x,y)=0下
7、,z=f(x,y)的极值令F=f(x,y)+Axp(x,y)称f(x,y)为目标函数，九为拉格朗日常数---FxFyE厂——I解得的(X,y)为可能的极值点x+y-4z-1例1、求曲
8、S
9、4z=3x2-2xy+3y2到平面x+y-4z=l的最短距离解法一、曲面上任一点(x,y,z)到平面的距离d=设F=—(x+y—4z—I)，+X(3x2-2xy+3y2-4z)2Fx=x+y-4z-l+X(6x-2y)=0Fy=x+y—4z—1+X(6y-2x)=0Fz=-4(x+y—4z—1)-4九=0E=3x2-2xy+3y2-4z=0
10、得:z=——16d•出min&解法二、曲而在任一点的切平而法矢量n={6x-2y,6y-2x,-4}平面x+y-4z=l的法矢量亓］={1,1-4}粧厲时’即竺泮忖w得：x=y=,z=—416・・・在(丄丄丄)点处切平而平行已知平而4416•••点G占召)到平面距离最亂d-=T例2、在曲面z=2-x2-y2位丁•第一卦限部分上求一点，使该点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。・・・曲而位于第一卦限部分上任一点（x,y,z）处的平而方程为:2xX+2yY+Z=4—z即]+J+Z.=l,・・・四面体体积v=4-z4-z4
11、-z24xy2x2y故令F=31n(4-z)-lnx-lny(x2+y2+z-2)Fx=一丄+2九x=0XF=--+2Xy=0・y3F=—-+九=0•4-zF?=x2+y2+z-2=0W：x=y=T•・•驻点唯一:.—,i为所求点。22例3、在第一彖限内，过椭圆曲线3x2+2xy+3y2=1±任一点作椭圆的切线，求诸切线与坐标轴所閑成的三角形面积的最小值。解：在第一象限内曲线上任一点（x,y）处的切线方程为：Y-y=-3x+yx+3y(X-x)Y(x+3y)+X(3x+y)=y(x+3y)+x(3x+y)切线与两坐标轴的截距
12、分别为x+比空y,y+^±2x3x+yx+3y3xx+3y)2x+3y若要使S最小,只要(x+3yX3x+y)最大故设F=(x+3yX3x+y)+A.(3x2+2xy+3y2-1)Fx=6x+1Oy4-6Xx+2入y=0由13、,fc,t])gD,b表D的而积3、几何意义f(「小。匕，y#D，则Mb,y)db表示以z=f(x,y)为顶,以D为底的曲顶柱体体积。4、二重积分在直和坐标下的计算法设z=f(x,y)>0用x=x平面截立体得如图vl>所示的曲边梯形其面积s(x)=J；2,；)f(x,y)ly例1、计算二重
