分数阶导数及其应用

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1、万方数据声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：王亟经Etgq：丝丝差笸宣!璺关于学位论文使用权的说明本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括：①学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；②学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学

2、位论文；③学校可允许学位论文被查阅或借阅；④学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；⑤学校可以公布学位论文的全部或部分内容(保密学位论文在解密后遵守此规定)o签名：导师签名：万方数据太原理工大学硕士研究生学位论文分数阶导数及其应用摘要近几年来，分数阶微积分被广泛运用到各个领域，解决了许多整数阶微积分不能很好解释的问题。正是由于分数阶微积分的广泛应用，所以近来它也成为了大家研究的重要内容之一。在本文中，我们主要讨论了分数阶导数的一种数值解法及其在生物力学上的应用。首先我们在整数阶数值微分的基础上给

3、出了一种解一维离散扰动数的分数阶导数的数值解法。我们知道求解导数的问题是不适定问题，即很小的误差在计算导数时可能会引起很大的误差或错误。在本文中我们通过函数逼近(径向基函数一RBF)的方法来近似精确函数，同时运用Tikhonov正则化方法来有效地解决此不适定问题。在分析过程中我们采用先验选取准则和Morozov，s偏差原理中的后验选取准则来选取正则化参数，并给出两种选择下的收敛性分析。其次，我们给出了分数阶导数在力学上的应用。我们在已有的典型粘弹性模型中加入分数阶元素一弹簧壶来模拟生物组织的粘弹性，然后

4、给出我们提出的模型与已有模型的比较，同时给出各个粘弹性参数的灵敏度分析以及各个模型下的拟合结果。在给出分数阶导数值解法的讨论过程中，给出两种选择下的稳定性分析，并通过理论分析及数值实例我们发现先验选取准则下的结果要优于后验选取准则下的结果。在给出分数阶导数在力学上的应用时，通过结果分析我们发现在少一个粘弹性参数的基础上我们的模型也可以得到很好的拟合结果，所以从计算成本考虑，在实际应用中可以采用我们的模型来进行数学建模和仿真。万方数据太原理工大学硕士研究生学位论文．二关键词：分数阶微积分，径向基函数，收敛

5、性分析，粘弹性模型，灵敏度分析万方数据太原理工大学硕士研究生学位论文FRACTIoNALDERIVALTIVESANDITSAPPLICATIONSABSTRACTInrecentyears，thefractionalordercalculusiswidelyappliedinvariousfields，andithassolvedmanyproblemswhichintegerordercalculuscan’texplainverywell．Becauseofthewideapplicationof

6、fractionalordercalculus，ithasbecomeoneoftheimportantcontentsrecently．Inthisarticle，Wemainlydiscussthecontentsoftwoaspects．Firstofall，wegiveanumericalmethodtosolvethefractionalderivativeunderonedimensionalscatterednoisedatawhichonthebasisoftheintegerorder

7、calculus．Theproblemsofsolvingderivativesarewell-．knowntobei11．．posedinthesensethatsmallerrorsinthedatamightinducelargeerrorsinthecomputedderivative。Inthispaper，weusethefunctionapproximation(RadialBasisFunction-RBF)toapproximatetheexactfunction；atthesamet

8、imeweusetheTikhonovregularizationmethodtosolvethisill—posedproblemeffectively．WeadoptaprioriruleoraposterioriruleofMorozov’Sdiscrepancyprincipleinchoosingtheregularizationparameter，andthestabilityanalysisundertwochoicesisg