分数阶泰勒公式及其应用

《分数阶泰勒公式及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、分数阶泰勒公式及其应用摘要：本文中提出了一种新的广义泰勒公式，分数阶导数义又称为Grunann-Liouville定义是Grunann-Liouville定义的思维方式相似，Caputo定义也是对Grunula,fractionalderivativemeaningisalsoknoann-LiouvilledefinitionisextendedthedefinitionofGrunoreextensive.AndtheGrunilarRiemann-Liouvilledefinedprovement.Fornonintegerorderderivativefunct

2、ion,advancedroula;Riemann-Liouville1引言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，借助与它我们可以把一些很复杂的函数表示为一些简化的多项式函数，我们就达到了把复杂问题变得简单，正因为如此泰勒公式逐渐成为研究和推导其他相关数学问题的有力工具。通过收集阅读大量的参考资料，又进一步通过自己进行了一些运算和证明，最后我又对这些应用型的方法作了比较详细的归类,归纳和总结。分数阶微积分的研究至今,前后经历了三百多年，但是前期的相关分数阶微积分的研究主要体现在理论数学方面，那么在接下来的很长一段时间内，由于数学问题本身复杂性,致使分数阶微积分的进一步

3、研究受到限制,一部分原因是没有得到科学研究人员的关注，基本上没有与之相关的论文发表，之后分数阶微积分的研究热潮是在二十世纪七十年代，分形几何的发现又使人们对此投以更大热情,后来研究人员发现幂律现象与记忆过程可以与分数阶微积分建立紧密的联系，这一重大发现使得分数阶微积分可以作为一种特殊的描述和刻画工具。得到人们的青睐。2泰勒公式及其应用，推导过程英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒于1685年8月18日在英格兰德尔塞克斯郡出生，1701年泰勒进入剑桥大学的圣约翰学院学习。1709年后移居，获得法学学士学位。1712年当选为英国皇家协会会员，同一年因其卓越的表现进

4、入了牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并在两年后再度获得法学博士学位。在1714年成为英国皇家学会第一秘书，1718年泰勒因病辞去这一职务，1717年，他用泰勒定理解出了著名的数值方程。随后在1731年12月29日于伦敦病世。由于工作并考虑到身体健康的原因，在法国访问期间他与法国数学家蒙莫尔多次通信并一起探讨了级数问题和概率论相关一些问题。1708年，经泰勒证明后得出了“振动中心问题”的解，成为数学界人们关注的焦点。随后在1714到1719年短短五年时间内，泰勒在数学上又取得了越来越多地成果，不断为世人所知所熟悉。他的定理著名的“泰勒定理”已大量存在大学课本中

5、。数学教学中，泰勒公式是作为用函数在某一点的信息描述它附近取值变化情况的公式。如果这一函数在给定的区间内能够达到光滑这一条件的话，并且在已经知道函数在某一点的各阶导数取值的情况下，可以把各阶导数值作为系数，利用泰勒公诉构造一个多项式，来逐步逼近在某一点领域里的函数值。泰勒公式得名于英国著名数学家布鲁克•泰勒。并于1712年首次公开并叙述了这个公式的由来，尽管泰勒公式得特例早被詹姆斯•格雷高里论证过。3Riemann-Liouville型分数阶导数微分方程变换法，分数阶导数本文是在Riemann-Liouville分数阶导数的广义Taylor公式的基础上，建立了求解Rie

6、mann-Liouville分数阶微分方程的微分变换方法。本文所建立的基于Riemann-Liouville分数阶导数微分方程变换法给求解Riemann-Liouville分数阶导数的微分方程提供了一种新工具。3.1分数阶导数的定义1695年,法国的L’Hospital询问Leibnitz:“当在导数的阶数为分数的情况下如何理解呢?”这次询问刚好距离Leibniz发表他的首篇微积分论文1年，从当时的情况来看它显然是一个很难回答的问题。虽然如此Leibnitz还是在1695年9月30日给予了L’Hospital答复，在说完了一些似是而非的猜测以后，他写道“你可以这样看，分

7、数导数可以在两个整数阶导数的阶数之间引入某种插入法(interolation).这一点尽管也处于猜测中,但毕竟用现在的手段做到了,这封信曾经在历史上不仅仅是一次公开发表过.此后大致分为三个阶段：(1)自L‘Hospital与Leibninz从1695年通信到1812年的一百多年的时间里,分数微积分仍然只是作为纯数学的一些讨论和猜测．并无人给出正确的描述.(2)1812～1974年,这期间从逐渐提出分数微积分有关概念,包括定义名词,到给出确切定义和性质,虽然推导出来的数目有限,但在实际应用方面还是得到了有效的验证.并于1974年出版了第一本