泰勒公式及其应用论

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1、本科毕业论文(设计)论文题目：泰勒公式及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级：指导教师：完成日期：2012年5月20日泰勒公式及其应用内容摘要本文介绍泰勒公式及其应用，分为两大部分：第一部分介绍了泰勒公式的相关基础知识，包括带Lagrange余项、带Peano余项两类不同泰勒公式；第二部分通过详细的例题介绍了泰勒公式在八个方面的应用.通过本文的阅读，可以提高对泰勒公式及其应用的认识，明确其在解题中的作用，为我们以后更好的应用它解决实际问题打好坚实的基础.关键词：泰勒公式Lagrange余项Peano余项应用Th

2、eTaylorFormulaandTheApplicationOfTaylorFormulaAbstractThispaperfocusesonTaylorformulaandtheapplicationofTaylorformula.Ithastwoparts.ThefirstpartofthispaperintroducesthebasicknowledgeoftheTaylorformula,IncludingTaylorformulawithLagrangeresidualtermandwithPeanoresi

3、dualterm.Withthedetailedexamples,ThesecondpartintroduceseightapplicationsofTaylorformula.Byreadingthispaper,youcanbuildapreliminaryunderstandingofTaylorformula,definethefunctioninproblemsolving,inthelaterapplicationthatcanbeagoodreference.KeyWords:TaylorformulaLa

4、grangeresidualtermPeanoresidualtermapplication目录一、泰勒公式1（一）带Lagrange余项的泰勒公式1（二）带Peano余项的泰勒公式2二、公式的应用3（一）、泰勒公式在近似运算上的应用3（二）、泰勒公式在求极限中的应用5（三）、泰勒公式在方程中的应用6（四）、泰勒公式在中值公式证明中的应用8（五）、泰勒公式在有关于界的估计中的应用9（六）、泰勒公式在证明不等式中的应用10（七）、泰勒公式在级数中的应用11（八）、泰勒公式在求高阶导数值中的应用13三、结论14参考文献15序

5、言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数.这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.因为泰勒公式在解决一些数学问题时的确有着不可替代的作用，故有关它的理论在教材中一般都有比较详细的介绍，而关于它的应用则介绍甚少或不全面.本文比较详细地介绍了泰勒公式在近似计算、求极值、方程、证明中值公式、关于界的估计、证明不等式、级数、高阶导数值等方面的应用.作者在阅读了大量参考文献的基础上，通过例题给出了泰勒公式的许多应用，使我们能更直接的看到泰勒公式在各方面的运用.一、

6、泰勒公式对于函数，设它在点存在直到阶的导数.由这些导数构造一个次多项式，称为函数在点处的泰勒多项式.泰勒公式根据所带的余项的不同有不同的定义.泰勒公式的余项分为两类，一类是定量的，一类是定性的，它们的本质相同，但性质各异.下面我们来介绍一下：（一）带Lagrange余项的泰勒公式对于这种泰勒公式，Lagrange余项是一种定量形式.定理1若函数在上存在直到阶的连续导函数，在内存在直到阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得，该式称为（带有Lagrange余项的）泰勒公式.证明作辅助函数，，所以要证明的式子即为.不妨设

7、，则与在上连续，在内可导，且，又因，所以由柯西中值定理证得，其中.所以定理1成立.（二）带Peano余项的泰勒公式对于这种泰勒公式，Peano余项是一种定性形式.定理2若函数在点存在直到阶导数，则有，即，称为函数在点处的（带有Peano余项的）泰勒公式，该公式定性的说明当趋于时，逼近误差是较高阶的无穷小量.证明设，，现在只需证.由可知，.并易知，因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数.于是，当且时，允许接连使用洛必达（L'Hospital）法则次，得到所以定理2成立.当时，得到泰勒公式，该式称为（带有Lagrange余

8、项的）麦克劳林公式.当上式中时有，它称为（带有Peano余项的）麦克劳林公式.二、公式的应用（一）、泰勒公式在近似运算上的应用利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为，其误差是余项.例1：计算的值，使其误差不超过.解应用泰勒公式有，，估，当时，便有，从而略去而求