泰勒公式及其解题应用

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1、长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练泰勒公式及其解题应用系（部）：信息与计算科学专业：数学与应用数学　-5-泰勒公式及其应用摘要文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆，本文针对泰勒公式的应用讨论了三个问题，即应用泰勒公式求极限，判断级数的求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算．关键词泰勒公式﹑极限﹑展开式﹑近似计算1.泰勒公式定义1.1[1]若函数在存

2、在阶导数,则有=+（x-）+(x-+……+（x-+-(1)这里-为佩亚诺型余项,称(1)为函数在点的泰勒公式.当=0时,（1）式变为=+x++……+称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式，定义2.2若函数在某邻域内为存在直至n+1阶的连续导数,则-5-=+-+-+……+-+(2)这里为拉格朗日余项,其中在与之间,称（2）为在的泰勒公式.当=0时,（2）式变成称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：.……2.泰勒公式的应用2.1利用泰勒公式求极限例1[1]求极限-5-分析：此为型极限,

3、若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将和sinx,分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解由,于是2.2利用泰勒公式求非初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过泰勒展开式：…………可以求得。例2[2]用间接法求非初等函数的泰勒展开式解以代替展开式中的的，得-5-．在逐项求积就得到在上的展开式2.3在近似计算方面的应用必须要注意的是，泰勒公式是一种局部性质，因此在用它进行近似运算时，不能远离否则效果会比较差．例3[3]计算，使其误差不超过．解由泰勒公式展开，有当n=7时，于是参考文献[1]康元

4、．泰勒公式及其应用［D］．山西：数学科学学院，2010．[2]华东师范大学数学系．数学分析（第三版）下册［M］．高等教育出版社，2001：52-57.[3]刘鹏．浅谈泰勒公式及其应用［J］．科技信息，2001，第九期.-5--5-