泰勒公式及其在解题中的应用

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1、本科生毕业设计（论文）（2014届）设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用作者周立泉分院理工分院用数学1001班指导教师（职称）徐华（讲师）专业班级数学与应用数学）论文字数8000论文完成时间2014年4月3日杭州师范大学钱江学院教学部制泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用．关键词：泰勒公式;数学分析;导数TaylorFormulaandItsApp

2、licationinSolvingProblemMathematicsandAppliedMathematicsclass1001ZhouLiQuanInstructor:XuHuaAbstract：Taylor'sformulaisanimportantequationofmathematicalanalysis,itisthebasicideaistousepolynomialapproximationtoaknownfunction,andthepolynomialcoefficientsgivenbythederivativesofthefunctiondeterm

3、ined.ThispaperdescribesthemethodtoprovetheTaylorformula,summarizedininequalities,findthelimit,theapproximatevalueandtheotherapplications.Keyword:Taylor'sformula;Mathematicalanalysis;derivative.目录1引言12泰勒公式13泰勒公式在解题中的应用23.1利用泰勒公式求近似值23.2利用泰勒公式求极限43.3泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用73.3.1判断级数的敛散性73.3.2判断

4、广义积分的敛散性93.4利用泰勒公式证明等式与不等式104结论及展望10参考文献11致谢12泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华1引言泰勒公式在数值微积分中起着非常重要的作用，泰勒公式“化繁为简”的功能在数学研究方面也发挥了极大的作用．关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的极值、判断函数凹凸性及拐点、求渐近线、界的估计和近似值的计算等等．事实上，由于许多函数都能用泰勒公式来表示，并且研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题又要借助于泰

5、勒公式．因此泰勒公式在数学实际应用中也是一种非常重要的应用工具，我们必须掌握它，以便更好更方便的研究一些复杂的函数、解决更多实际的数学问题．虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面学者很少提及，因此在泰勒公式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空间．2泰勒公式泰勒公式按不同的余项可以分为两类,一类是定性的,一类是定量的,它们的本质相同，但性质各异．定性的余项为佩亚诺余项，仅表示余项是，即当时高阶的无穷小．定量的余项是拉格朗日型余项（也可以写成），定量的余项一般用于对逼近误差进行具体的计算或者估计．定理1(泰勒定理)：设在处有阶导数，则存在

6、的一个领域，对于领域中的任一点，成立（1）其中余项满足，在与之间．上述公式（1）称为在处的带拉格朗日型余项的泰勒公式．余项（在与之间）称为拉格朗日余项．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12若不需要余项的精确表达式时，余项也可也成．此时，上述公式（1）则称为在处的带有佩亚诺余项的泰勒公式．它的前项组成的多项式：称为的在处的次泰勒多项式．当时，上式记为该式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的特殊形式带拉格朗日余项的泰勒公式对函数的展开要求比较高，形式也相对复杂，但因为（2）对均能成立（当不同时，的取值可能不同），因此这反映出函数在邻域内的全局性．带佩亚诺余项的泰勒

7、公式对函数的展开要求较低，它只要求在点处阶可导，展开形式也较为简单．（1）式说明当时用右端的泰勒多项式代替所产生的误差是的高阶无穷小，这反映了函数在时的性态，或者说反映了在点处的局部性态．3泰勒公式在解题中的应用泰勒公式也被称为泰勒中值定理，是高等数学课程中的一个重要内容，不仅在理论分析方面有重要作用，其应用也非常广泛．但在高等数学课程中没有深入广泛地展开讨论，本文通过几个例子也仅仅说明其中的几个方面的应用，还有很多其他方面的应用，以及二元函数的泰勒公式及其应用等许多内容可以展开进一步的讨论，从而对泰勒公式有一个全