泰勒公式在高考命题中的地位

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1、学指导人接受了太阳的光和热,就应当把它传给别人。习泰勒公式在高考命题中的地位（上）>>>高敏文试图从导数命题的类型之一，探讨解x(1+x)>，以下我们从模型演变的角度找一本1+x决导数问题的思想方法，主要从“高等数下它的原型：由ln(1+x)-x，即学情景的初等化”谈起。111一、泰勒展开式原型ln>-x，令=1+t，则x=-1，故ln1+x1+x1+t泰勒展开式很好地把初等函数形式与超越1t(1+t)>-(-1)=．函数联系起来，而找到初等方法与超越函数的1+t1+t联系，往往是导数命题的一种形式。几个常

2、见2xx引申：x>0时，ln(1+x)>=，于2+xx的展示如下：1+22xx是，我们提出这样的问题：（1）e=1+x++…2xax23例1．当x≥0时，ln(1+x)≥=xx1+xa+x（2）ln(1+x)=x-++…26a35恒成立，求a的取值范围．xx（3）sinx=x-+-…3!5!ax解：令f(x)=ln(1+x)-，∵f(0)=0,a+x24xx（4）cosx=1-+-…∴f(x)≥0成立的一个充分条件是：f'(x)≥0，2!4!22从中截取片断，就构成了初等数学考查导1ax(x+2a-a)而f'(x)=-=，221+

3、x数的常见不等式：(a+x)(x+1)(x+a)22xx（1）当2a-a≥0即0≤a≤2时，f'(x)≥0（1）e≥1+x+对于x≥0恒成立．2符合题意；22（2）x-x≤ln(1+x)≤x对于x≥0恒成立．（2）当2a-a<0即a<0或a>2时，在区间(0,223a-2a）上有f'(x)<0，得f(x)

4、.10KAOSHIYUZHAOSHENG这个结论有很好的应用，可以通过放缩的成立．技巧进行整形，从而完成超越形式的问题向初为叙述方便，在本篇对以上四个不等式称等形式转化．为“泰勒不等式”．ax二、泰勒展开式变型变式1：已知：ln(1+x)>对于x>0恒成a+xx（一）证明：当x>0时，ln(1+x)>.立，1+x（1）求a的取值范围；分析与证明：2x1（2）证明：x>0时，ln(1+x)>x．令f(x)=ln(1+x)-，由f'(x)=-x1+x1+xe-11=x>0可知：f(x)>f(0)=0，即ln解：（1）由例1已求得：0≤

5、a≤2；22(1+x)(1+x)2x（2）分析：∵ln(1+x)>∴欲证ln(1+x)>402+xAfterreceivinglightandheatfromthesun,weshouldsharethemwithothers.习导学指222x2xxx-2a)上，f'(x)<0，(a-2a,3)上，f'(x)>0，所以，原，只须证>，即证：e>1+x+xx2+xe-1e-1f(0)≤03a条件等价于，即ln4-≤022a+3xxxxf(3)≤0．证明：令g(x)=e-1-x-，则g'(x)=e223ln4≤a≤3；x3-ln4-

6、1-x，g''(x)=e-1>0，因此g'(x)>g'(0)=0，因此2g(x)>g(0)=0．因此原不等式得证．（3）当a-2a≥3，即a≥3时，f'(x)=2再看2013年陕西卷22题，它与这个模型x(x+2a-a)≤0恒成立．2也很有渊源.(x+1)(a+x)xf(a)+f(b)3ln4例2．已知：f(x)=e,a

7、-1<．6+x1+e向：令a=0,b=1易得：>e-1．9xax(9-a)x2分析：=+，若能找到恰6+x6+x6+xabababe+ee-ee+eax思路探寻：>等价于ba>当的a，证得ln(1+x)<，且姨x+1-1<2a-be-e6+xb-a(9-a)x2e+12b-a即可得证．以下寻找a.化为>，令e=t，则6+xb-aa-bb-ae-1证明：令不等式成立的一个充分条件是：t+122(t-1)b-a=lnt，化为>，即证：lnt>．2t-1lntt+1g'(x)=1-6a≤0即6a≥(x+6)．令2x+1x+1我们换一下元

8、，令t-1=x，则原式即化为：ln(6+x)22x(x+6)(x+6)(x-4)(1+x)>．h(x)=，则由0