泰勒公式及其应用(1)

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1、泰勒公式及其应用[摘要]文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆，本文针对泰勒公式的应用讨论了九个问题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,函数的凸凹性，拐点,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值.中间值[关键词]泰勒公式；极限；不等式；敛散性；凸凹性；拐点；;展开式;近似计算;行列式.1引言泰勒公式

2、是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学方面问题的有力杠杆，并且在经济学上有一定的应用，本文主要叙述其应用，通过大量的例题进行讲解说明。2知识点定义2.1若函数在存在阶导数,则有=+（x-）+(x-+……+（x-+-(1)这里-为佩亚诺型余项,称(1)f在点的泰勒公式.当=0时,（1）式变成,=+x++……+称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式，定义2.2若函数在某邻域内为存在直至n+1阶的连续导数,则 ,=+-+-+……+-+,（2）这里为

3、拉格朗日余项,其中在与之间,称（2）为在的泰勒公式.当=0时,（2）式变成称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：.…….3泰勒公式的应用3.1利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例3.1求极限.分析：此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将和sinx,分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解：由,于是，3.2利用泰勒公式证明不等式例3.2在上，且，试证明证明：任取，对任意，利用泰勒公式及其条件可得（

4、1）（2）（1）得所以有即（3）设，使根据（3）及0得即3.3利用泰勒公式判断广义积分的敛散性例3.3由于收敛，所以3.4利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例3.4：可得例3.5？解：因为，所以不是的拐点。3.5利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过泰勒展开式：…………可以求得。例3.6求函数的幂级数展开式.解：由于，，（n1,2,3……）所以的拉格朗日余项为，显见它对任何实数x，都有因而，所以有…………，。3.6利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,

5、利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为,其误差是余项.例3.7计算lg11的值,准确到解:因为……，,要使取，故例3.8估计下列近似公式的绝对误差：解：……当时，3.7利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项的系数正是,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.例2.9设求由得泰勒公式：…可得：…，…，所以3.8利用泰勒公式求行列式的值若一个行列式可看做x的函数（一般是x的n次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例3.10求n阶行列式D=（1）解记

6、,按泰勒公式在z处展开：,（2）易知（3）由（3）得,.根据行列式求导的规则,有于是在处的各阶导数为,,…………把以上各导数代入（2）式中,有若,有,若,有.3.9利用泰勒公式证明与某阶导数的中间值例3.11，，证明：证明：=+与3.10利用泰勒公式解经济学问题我们知道泰勒公式在解定积分中有着广泛的应用，而定积分在经济学中是不可缺的，在这里将以定积分为平台，利用泰勒公式去解决经济学问题，例3.12完全竞争行业中某厂商的成本函数为STC=，假设产品的价格为66元，求：（1）由于竞争市场供求发生变化，由此决定新的价格为30元，在心的

7、价格下，厂商是否会发生亏损，如果会，最小的亏损额是多少？解：（1）由于市场供求发生变化，新的价格为27元，厂商是否发生亏损仍需要根据P=MC所决定的均衡产量计算利润为正还是为负，不论利润最大还是亏损最小，均衡条件都是P=MC，成本函数为STC=，令=由泰勒公式我们知道，……所以所以STC=又因为P=MC，即27=所以因为（1）（2）所以4，616故是利润最大或者最小的产量。利润可见，当价格为27元时，当厂商生产量为1时，其最大盈利额为19当厂商生产量为4时，其发生亏损，最小亏损额为17参考文献[1]陈传章金福林：《数学分析》（下

8、）北京：高等教育出版社,1986.[2]张自兰崔福荫：《高等数学证题方法》陕西：陕西科学出版社,1985.[3]王向东：《数学分析的概念和方法》上海：上海科学技术出版社,1989.[4]同济大学数学教研室主编.高等数学【M】.北京：人民教育出版社,1999.[5