阶导数在函数中的应用

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1、内蒙古民族大学毕业生论文一阶导数在函数中的应用王宝玉（数学学院数学与应用数学2006级蒙班）指导教师李春龙摘要：利用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，函数的极值和最值，导数是分析和解决问题的有效工具.关键词：导数；函数的切线；单调性；极值和最值导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想，新课程中导数内容不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强.是研究导数的一个重要载体，函数问题涉及较多的知识点和数学思想方法.本文对导数在函数中的应用作个初步探究.有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和

2、最值，利用函数的单调性证明不等式，利用导数解决应用问题.一用导数的几何意义处理曲线的切线函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率.即就是说，曲线在点处的切线的斜率是，相应的切线方程为.例1求函数在点处的导数，并求曲线在点（1，1，）处的切线方程.分析：根据导数的几何意义求解解：即所求切线的斜率为2，故所求切线的方程为即.二用导数处理函数的单调性问题利用导数判断函数的单调性的步骤是（1）确定的定义域；（2）求导数，（3）在函数的定义域内解不等式和；（4）确定的单调区间，若函数式中含字母系数，往往要分类讨论.例1、确定函数-9-内蒙古民族大学毕

3、业生论文在哪个区间内是增函数，在哪个区间内是减函数解：第一步确定函数定义域，函数的定义域是第二步求函数的导数第三步令及，确定的单调区间.令，即解得时，是增函数再令，即，解得或时，是减函数时，也是减函数.例2研究函数的单调性解：(1)当时，由，得+--+从上表中的符号随取值的变化规律发现，此时的单调增区间是和，单调减区间是和(2)当时，，此时的定义域为因此在内单调递增.（3）当时，，定义域为,此时的单调增区间是-9-内蒙古民族大学毕业生论文和,没有单调减区间.三用导数处理函数的极值问题求可导函数极值的步骤是（1）确定函数定义域，求导函数；（2）求的所有实数

4、根；（3）对每个实极数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数的符号如何变化，如果的符号由正变负，则的值是极大值；如果的符号由负变正，则是极小值.注意：如果的根的左右侧符号不变，则不是极值.例3求函数的极值解：由，解得或当变化时，的变化情况如下：极大值极小值+0-0+-2(-2,2)2时，有极大值，当时，有极小值.四用导数处理函数的最值问题求在内的最大值和最小值的步骤（1）求在内的极值（2）将的各极值与比较即可.例4函数在[-2，2]的最大值和最小值-9-内蒙古民族大学毕业生论文解：，解得当变化时，的变化情况如下：1345413-0+0-0+-2（-2，

5、-1）-1（-1，0）0（0，1）1（1，2）2由上表可知，最大值为13，最小值为4.五用导数处理不等式问题例5已知函数，证明解：令得x=0当时，，当时，在区间（-1，0）上时增函数，在区间上是减函数当时，，即，故令,令，得x=0当时，，当时，在区间（-1，0）上时减函数，在区间上是增函数当时，即，故综上知：.六用导数解决方程参数问题例6若函数满足条件-9-内蒙古民族大学毕业生论文，且在上单调递增，求实数b的取值范围.解：，又在上单调递增即又故实数b的取值范围是.七用导数处理与方程根有关的问题例7已知平面向量（1）若存在不同时为零的实数k和t，使，且，试

6、求函数关系式(2)根据（1）的结论，讨论关于t的方程的解的情况.解：（1）由得x.y=0,又a.b=0，则即-9-内蒙古民族大学毕业生论文而不同时为0，则(2)关于t的方程的解的情况等价于与的交点个数的情况令，则t=1或-1-1(-1,1)极小值+000+1/2(-2,2)-1/2又为奇函数，且时，舍去）至此，可以画出的图像大致如图的解的情况是（1）或时，与的图象只有一个交点，即方程只有一个解（2）或时，与的图象有二个交点，即方程有二个解（3）k=0时，与y=0的图象有二个交点，即方程有二个解（4）或时，与的图象有三个交点，即方程有三个解.-9-内蒙古民

7、族大学毕业生论文八用导数处理相关的应用性问题例8某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：（1）y与（a-x）和的乘积成正比；（2）当时，，并且技术改造投入比率：其中t为常数，且（1）求的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值y的最大值及相应的x值.解：（1）由已知，设当时，，即则解得函数的定义域为(2)令则（舍去），当时，，此时在上单调递增；当时，，此时是单调递减的当时，即时，综上所述，当时，投入万元，最大增加值是当时，投入万元，最大

8、增加值是-9-内蒙古民族大学毕业生论文总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使