数学分析习题(上)new

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1、数学分析习题(上)一、单调有界法求极限:用单调有界原理判断极限存在,再求其极限。例1求数列解:显然,此数列是单调上升的,下面证明数列有上界。例2、设,数列满足条件:,计算。解:显然对任何,都有,故有下界,由于所以是单调递减的,故的极限存在。设,得注:例1与例2这一类数列,应在数列极限存在的前提下才能使用此种方法。二、用洛必塔法则求极限:当极限为待定型时,可用洛必塔法则求之。例3求例4、求解:-20-又如:(1)求(2)其它还有均为待定型。这五种类型都可转化为例5求解:例6、求解:例7、求例8、求例9、求三、积分法求极限:有些极限用定积分定义计算较为简便。-20-例10、求例11、求例12

2、、求例13、求例14、求解:原式=-20-四、其他例题例15、若在点连续,那么,是否也在连续?反之如何?解(1)若在连续,则与在连续。(i)在连续。事实上,由于在连续,从而对,当时,有,而故当时,。因此在连续。(ii)在连续。事实上,由于在连续,从而由局部有界性知:存在>0及,使当时,有,由连续性定义知,,当时,有。现取,则当时,(i)与(ii)同时成立,因此可以在连续。(2)逆命题不真。设,则,均是常函数,故是连续函数,但在中的任一点都不连续。例16、证明:设为区间上的单调函数,且为的间断点,则必是的第一类间断。证:不妨设f为区间上的递增函数,于是当且时,,从而,由函数极限的单调有界定

3、理可知同理因此是的第一类间断点。例17、设、在点连续,证明:-20-(1)若,则的某个邻,使(2)若对,有,则证:(1)由于,取连续,于是。存在。可见①,又因在连续,从而存在,当,可见②,现取时,①,②同时成立,因此,。(2)假设结论不真,从而,由(1)可知,存在的某个邻域,使,,这与时,,矛盾,故例18、研究复合函数与的连续性,设(1)(2)解:(1)由于故是连续函数,又因为因此,x=0是gof的可去间断点,其余点处处连续。(2)由于于是=0,可见处处连续,因为故,的跳跃间断点。-20-例19、若对任给,在上连续,是否可推出在连续。解:可推出在内连续。事实上,对任给,取,则由于上连续,

4、故在连续。由的任意性,可知在内连续。例20、证明:若在上连续,且不存在任何,使得=0,则在上恒正或恒负。证:假设在上不恒为正且不恒为负,则必有,使与异号,不妨设,由于函数在上连续,故在上连续,由根的存在性定理可得,存在,使得,这与不存在任何,使得=0相矛盾,故在上恒正或恒负。例21、证明:任一实系数奇次方程至少有一个根。证:设为一实系数奇次方程且,令其左端为且可设,因而在上连续且,从而存在,使,在上应用根的存在性定理可知:在区间内至少有一个实根。例22、证明:(1)函数在上一致连续。(2)在上一致连续,但在上不一致连续。证:(1)对任给正数,取,当任且时,分两种情况讨论:时,。所以函数在

5、上一致连续。(2)先证在上一致连续,对任给-20-,于是对任给的正数,取,当时,有上一致连续。再证在上不一致连续,取,不论正数取得多么小,只要n充分大,我们可使与的距离但,故在上不一致连续。例23、若函数在区间上满足李普希茨(Lipschitz)条件,即存在常数>0,使得上任意两点都有证明:在上一致连续。证:,取,对I上任意两点。当时,由李普希兹条件可知在上一致连续。例24、设函数在点存在左、右导数,试证在连续。证:,由无穷小量概念,其中,于是在右连续。同理可证在左连续。从而在连续。例25、设是定义在上的函数,且对任何都有,若,证明:对任何,都有.证:由于对一切都成立。于是对任,有-20

6、-(i)若,则结论成立(ii)若,则,于是对任,例26、函数在一点可微,是否必在该点邻域内连续。考察:函数试证在每一点处不连续,但在处可微,且证:设,取有理数列趋于,;取无理数列趋于,,故在点不连续(归结原理)。但显然在点是连续的。而故即,从而在处可微,且所以上述命题是不正确的。例27、若在内可微,且,是否必有解:未必,如,则在上可微,,取,则,=0、1、2……,而,所以,故。例28、若于内可微,且,则证:时,恒有,即有-20-即从而由的任意性知:。例29、设函数在点=1处二阶可导,证明:若。则在=1处有。证:即证在=1时,将代入,易见等式成立。例30、设函数在点处二阶可导,且,若这个函

7、数存在反函数,试求。解:∴例31、举一个连续函数的例子,它在已知点上不可导。解:是上的连续函数,但它在处不可导。例32、证明:(1)可导的偶函数,其导数为奇函数。(2)可导的奇函数,其导数为偶函数。(3)可导的周期函数,其导数为周期函数。证:(1)设为可导偶函数,则有,两边求导。为奇函数。(2)同理(3)设为可导周期函数,为周期,则两边求导:即∴仍是以为周期的周期函数。例33、设在连续,。求问在什么条件下在可导。-20-解:又在连续

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