数学分析习题new

《数学分析习题new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数学分析(三)第一次习题课PartI欧欧欧式式式空空空间间间Rn1.设集合A;B∈Rn，证明如下结论：(1)(A∩B)◦=A◦∩B◦(2)A∪B=A∪B(3)@(A∪B)⊂@A∪@B(4)@(A∩B)⊂@A∪@B2.非空集合A是Rn中的既开又闭的集合，证明A=Rn．3.设A⊂Rn是闭集，其中n>1，又设A至少有一个内点x∈A◦，A̸=Rn，证明：A的边界至少有无穷个点．4.设A;A都是Rn中的有界闭集，A∩A=∅，证明存在两个开集O;O，使121212得Ai⊂Oi;i=1;2，且O1∩O2=∅．去掉有界

2、性，证明结论仍然成立．5.设A∈R2是有界集合，记A={x;(x;y)∈A};A={y;(x;y)∈A}．xy(1)若A是紧集，则Ax和Ay也是紧集(2)若Ax和Ay也是紧集，试问能否推出A必定为紧集？6.令K为Rn的一个紧子集且{B}为覆盖K的一个开球序列，用两种方法证明存j在一个正数"使得每个以K的一个点为中心的"球被包含在Bj球之一中．PartII多多多元元元函函函数数数极极极限限限7.确定下列极限是否存在，如果存在求出极限(1)limxyln(x2+y2)(x;y)→(0;0)cosx−siny(2

3、)limy(x;y)→(0;0)x+e()lnxxy(3)limx→+∞;y→+∞x2+y21x2+y(4)lim22(x;y)→(0;0)x+yln(x2+y2)(5)lim(x;y)→(0;0)x+yx2y2(6)lim33(x;y)→(0;0)x+y8.试构造一个二元函数u=f(x;y);(x;y)∈U((0;0);0)(0>0)，使得(1)limf(x;y)存在，但是两个累次极限均不存在(x;y)→(0;0)(2)limf(x;y)存在，两个累次极限一个存在，一个不存在(x;y)→(0;0)(3

4、)limf(x;y)不存在，两个累次极限均存在且相等(x;y)→(0;0)9.设函数f(x;y)满足(1)∀∈[0;2],f(x;y)=f(rcos;rsin)→0(r→0)(2)∃M>0，使得∀(x1;y1);(x2;y2)有

5、f(x1;y1)−f(x2;y2)

6、6M(

7、x1−x2

8、+

9、y1−y2

10、)证明：limf(x;y)=0．x→0;y→010.设f(x;y)关于x在[a;b]上连续，且关于y单调增加，如果limf(x;y)=f(x;d);y→d证明这一收敛关于x∈[a;b]是一致的．11.

11、设A是n×n阶矩阵，定义∑∞AnAe=n!n=0证明:(1)对于任意矩阵A，这样的定义都是有意义的（即右边的和式总会收敛，在矩阵范数的意义下）A(2)lim(I+)n=eAn→∞n2PartIII多多多元元元函函函数数数连连连续续续性性性12.令K⊂Rn是紧的，且令f:K→R是连续的，给定">0，证明存在一个M使得对于所有的x;y∈K，有

12、f(x)−f(y)

13、6M

14、x−y

15、+"13.命题：集合A是Rn中的闭集，一个映射f:A→A是连续的当且仅当它的图像在Rn×Rn中是闭集。这个命题是否正确？14.令U⊂Rn

16、是一个开集，假设映射f:U→Rn是从U映满Rn的一个同胚，它是一致连续的，证明U=Rn．15.令函数f:Rn→Rn满足下面两个条件：(1)每当K是Rn的紧子集时f(K)是紧的(2)若{K}是Rn的紧子集的递减序列，则n∩∞∩∞f(Kn)=f(Kn)n=1n=1证明f是连续的．16.令f是R2上的一个实值函数，具有下面性质：(1)对每个R中的y0，函数f(x;y0)是连续的．(2)对每个R中的x0，函数f(x0;y)是连续的．(3)每当K为R2的一个紧子集时f(K)是紧的．证明f是连续的．17.设集合A是Rn

17、中的闭集，映射f:A→A是一个压缩映射，即存在常数0<<1，使得n

18、f(x)−f(y)

19、6

20、x−y

21、∀x;y∈R证明:该映射是连续的，并且具有唯一不动点．18.设集合A是Rn中的有界闭集，映射f:A→A满足n

22、f(x)−f(y)

23、<

24、x−y

25、∀x;y∈R证明:该映射是连续的，并且具有唯一不动点．并举例说明如果不加有界条件，结论不一定成立．319.假设f:Rn→Rn是连续的，对于所有x;y∈Rn以及某个M>0有

26、f(x)−f(y)

27、>M

28、x−y

29、证明f既是单射又是满射，而且有一个连续的逆．20.设f是Rn中

30、紧集K上的连续函数列，如果对于每个x∈K都有ksupfk(x)<+∞k证明函数f(x)=supfk(x)k在K上达到最小值．4