数学分析习题(上)

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1、数学分析习题（上）一、单调有界法求极限：用单调有界原理判断极限存在，再求其极限。例]求数列乔,Jq+需,+…（a〉0）的极限.解：显然，此数列是单调上升的，下面证明数列有上界4ci+1.事实上,兀]=4a<4a+1,设无0,xn+l=—（xn+—）（/1eA^）,计算lim兀。2xn“—co解:显然对任何〃，都有£>0,故｛暫｝有下界，

2、由于兀+i=丄（£+—）>xn•—=4ci2暫V£[[2所以£+1-二一（£+~Xn=V0所以｛兀“｝是单调递减的’故｛£｝的极限存2£2xn在。设limxn=A,对等式£+iZITOO=-Un+—）W边取极限,2兀A=—（A+纟）,其正数解为A=石所以lim=Ja2A20注：例1与例2这一类数列，应在数列极限存在的前提下才能使用此种方法。二、用洛必塔法则求极限：当极限为待定型时，可用洛必塔法则求之。—1一cos—。耐、例3求lim；——（—型）zx0t.・1-cosx,・sinx1sinx1解:lim——=lim=—lim=—v->0厂XT（）2x2Z）兀2例4、求lim—型

3、）（a〉0）XT+OOXa00解：lim=lim—=lim—=0xthoxa心+saxa"xTxoa,ra乂如：(1)求lim入tO[cosrdt(2)lim其它还有O-oo,oo-oo,O°,r,00°均为待定型。这五种类型都可转化为9型或竺型000例5求limxnInx(n>0)(0•8型)XT。*丄解：limxnlnx==lim——^-77=lim—=0XT0+x-0+xt(t-nx心0十nz例6.求lim(secx一Zgx)(oo一co)42"/xK1-sinxv-cosx八A->-cosX2解:lim(secx-tgx)=lim=lim=0nXT一2x->--sinx2

4、例7.求limxx(o°)解:limr=lim严%->(rxto*limxxnrlim-J—£x—>0*Xlim-/g.wr・丫一＞亦「2、R121ln(-arct^x)limnlim火炉0X-H^oX—X->-KO*'75时怙二即A)=/=12例8.求lim(-arctgx)x(T型)x—>+CO兀例9.求lim(c/gx)z(oo°型)x->0*丄lim込解：lim(cfg兀严=£”elim—^.v_>o+cosxsinx三、积分法求极限：有些极限用定积分定义计算较为简便。例10、>)

5、sin-+sin—+---sin^—"T8nnnn=lim丄fsiQiim丄£siQ上"tsn7^nzg兀铝nn—psinxdx=—兀丄)n例11、求lim血解:lim如Llim?匸"Too/Jnl_l_.2H巴=lim川冇；nnfgP/!->»f=lIInxdxi=e^（其小［Inxdx=-1是广义积分）例12、求lim(——F—-—+•••+丄)〃+in+22n解:原式=lim-!-(—+—+•••+ii+丄i+?nn丄)1+巴nn1=limy——"一>8厶-711+—n丄=f^=ln2n1+x例13、求limn(———+——co亍+i加+2~解:原式=lim」(——!-—+

6、51+(丄尸1+(丄尸nn71nJn(n+1)Jn(2n_V))解:原式二lim—(,H—]HFzn]+0]+]nn2(72-1)lim>00四、其他例题例15、若/在点兀0连续，那么1/1，是否也在勺连续？反之如何?解(1)若/在兀0连续，贝川门与严在兀0连续。(i)1/1在兀连续。事实上,由于/(兀)在兀0连续,从而对VE>0,38(e)>0,当l^-xol<8时,al/(x)-/(xo)l<8,而IIf(x)I-1/(x0)ll

7、。事实上，由于/(X)在兀。连续，从而山局部有界性知：存在A/>0M及6〉o,使当lx-xol0,352>0,当I兀-兀()i<§2时，有Iy(x)-/(x0)i<—oM现取8=min{51,52},则当Ix-x0Iv6时，(i)与(ii)同时成立，因此I/2(x)-/2(x0)H/(x)-/(x0)II/(x)4-/(x0)I