抛物线焦点弦问题

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1、江夏一中2013届文科数学一轮复习专题讲座抛物线焦点弦问题抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下：一.弦长问题：例1斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交AB两点，求线段AB的长。二.通径最短问题：例2：已知抛物线的标准方程为，直线过焦点，和抛物线交与A.B两点，求AB的最小值并求直线方程。三．两个定值问题：例3：过抛物线的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为、、、，求证：，。四．一个特殊直角问题：例4：过抛物线的焦点F的直线与抛物线交与A、B两点，若点A、B在抛物线的准线上的射影分别是，求证：。五．线段AB为定长中点到y轴的最

2、小距离问题例5：定长为3的线段AB的两端点在抛物线上移动，设点M为线段AB的中点，求点M到y轴的最小距离。六．一条特殊的平行线例6：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P、Q,经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。7七．一个特殊圆例7：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。八．一个特殊值：例8：已知抛物线过焦点F弦AB被焦点分成m、n的两部分，则【练习】1.已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且（＞0），过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，（1）证明：的值；（2）设的面积为S，写出的表达式，并

3、求S的最小值．2.对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点，（1）试证：（n≥1）（2）取，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证：（n≥1）7抛物线焦点弦问题抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下：一．弦长问题：例斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交A.B两点，求线段AB的长。分析：利用弦长公式能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够运用抛物线第二定义，把焦点的距离和转化到准线的距离较为简单。y解：根据抛物线的定义，同理A于是得FBxo由题已知消去y得故∴注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算

4、公式：或。二.通径最短问题：例：已知抛物线的标准方程为，直线过焦点，和抛物线交与A.B两点，求AB的最小值并求直线方程。解：①如果直线的斜率不存在，则直线的方程为②如果斜率存在，不妨设斜率为，则直线的方程为，与抛物线方程联立方程组得消去得若则则当时最小即此时三．两个定值问题：例：过抛物线的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为、7、、，求证：，。证明：①联立消去y得同理消去y可得；②斜率为0时，直线与抛物线不能有两个交点；③斜率不存在时，，同样是定值；从上所述：，四．一个特殊直角问题：过抛物线的焦点F的直线与抛物线交与A、B两点，若点A、B在抛物线的准线上的

5、射影分别是，求证：。yA解：设A坐标为（，）B坐标为（，）oFx，B,又由上题可知，。五．线段AB为定长中点到y轴的最小距离问题例：定长为3的线段AB的两端点在抛物线上移动，设点M为线段AB的中点，求点M到y轴的最小距离。解：抛物线焦点,准线，设点A、B、M在准线上的射影分别是、、，设点则AMoFyx又，∴，所以7，即的最小值是B∴点M到y轴的最小距离是，当且仅当AB过点F是取得最小距离。六．一条特殊的平行线例：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P、Q,经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。y解：设抛物线的标准方程为，设P、Q的坐标

6、为P，FMQx则PO的直线坐标为又带入M的纵坐标又M的坐标为　故直线ＭＱ平行于抛物线的对称轴。七．一个特殊圆例：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。证明：　　　　　　　　　　　　　　设抛物线的方程为，则焦点，AAy　　　　　　　　　　　　　　　　　准线，设以过焦点Ｆ的弦ＡＢ为直径的圆的Fx　　　　　　　　　　　　　　　　　圆心Ｍ，Ａ、Ｂ、Ｍ在准线上的射影分别是　　B　　　　　　　　　　　　　　　　　、、则　　　　　　　　　　　　　　　　　又∴，即为以ＡＢ为直径的圆的半径，且准线⊥　　∴命题成立。本篇总结了过焦点的弦与直线的七条性质，认识这几条性质可

7、以更清楚地认识抛物线。7八．一个特殊值：例：已知抛物线过焦点F弦AB被焦点分成m、n的两部分，则y证明：①假设直线AB的斜率不存在则Aox②若AB的斜率存在，不妨设斜率为k则直线AB的方程为FB设，则又【练习】（2006年重庆高考（文）22）对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点，（1）试证：（n≥1）（2）取，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证：（n≥1）（1）证明：焦点（0，1）设直线AnBn方程为：消去y得∴（2）由则故在An处切线方程为，即类似的，在Bn处切线方程为，即两式相