11抛物线的焦点弦问题

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1、抛物线的焦点弦问题问题:过抛物线(p>0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A、B两点，点A、B在抛物线准线上的射影为C、D，AB的中点为E，E在准线上的射影为H。结论1:证明：由抛物线的定义可得：，同理可得结论2：过顶点的焦半径最短证明：由焦半径公式可知，当x1=0时，最小。结论3：以为直径的圆与y轴相切。证明：，的中点M()，则M到y轴的距离d=，=d，则以为直径的圆与y轴相切。结论4：证明:结论5：若直线L的倾斜角为，则弦长证:(1)若时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,，结论得证(2

2、)若时,设直线L的方程为：即代入抛物线方程得由韦达定理由弦长公式得结论6：过焦点的弦中通径长最小证明：，的最小值为,即过焦点的弦长中通径长最短.结论7：(1)(2)x1x2=证：①当焦点弦与x轴垂直时，x1=x2=,y1=p,y2=-px1x2=,②当焦点弦不与x轴垂直时，可设该直线斜率为K,直线方程为y=k(x-),将y=k(x-)代入得：=0，由韦达定理可得：x1x2=又，，结论8：=证明：，=又x1x2=，===结论9：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B

3、分别向准线引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线相切．结论10:存在以下5种垂直：①FD⊥FC；②HA⊥HB；③HF⊥AB；④CF⊥AH；⑤DF⊥BH证明：①：在中，AD=AF，，同理可得，又，由三角形内角和可得+=，所以，即FD⊥FC②：同①可证HA⊥HB③：由①可得在Rt中，H是CD的中点，所以HF=CH,在CBH和FBH中，HF=CH

4、,BC=BF，BH=BH，所以CBHFBH则∴HF⊥AB④∵CBHFBH　∴，又∵AC=AF，∴CF⊥AH⑤同④可证DF⊥BH结论11:直线AH、BH是抛物线的切线。结论12:B、D、O三点共线证明：由题意可得D(-),,=,因为，而所以所以三点共线。1．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是(　　)A．相离B．相交[来源:Z_xx_k.Com]C．相切D．不确定解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，则

5、AA1

6、＝

7、AF

8、，

9、

10、BB1

11、＝

12、BF

13、，于是M到l的距离d＝(

14、AA1

15、＋

16、BB1

17、)＝(

18、AF

19、＋

20、BF

21、)＝

22、AB

23、＝半径，故相切．2．P是抛物线y2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是（1，0）．3．[2012·皖南八校一联]若直线mx－y＋－1＝0(m>0，n>0)经过抛物线y2＝4x的焦点，则＋的最小值为(　　)A．3＋2B．3＋C.D.[解析]抛物线的焦点为(1，0)，该点在直线mx－y＋－1＝0(m>0，n>0)上，所以有2m＋n＝2，于是＋＝(2m＋n)

24、＝≥(2＋3)．故选C.1．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是(　　)A．相离B．相交[来源]C．相切D．不确定2．P是抛物线y2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是．3．若直线mx－y＋－1＝0(m>0，n>0)经过抛物线y2＝4x的焦点，则＋的最小值为(　　)A．3＋2B．3＋C.D.