有关抛物线焦点弦问题的探讨

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1、有关抛物线焦点弦问题的探讨复旦大学附属中学张建国培养学生探究问题的能力是现在课改的目标之一，那么在实际教学中该如何培养学生探究问题的能力？学生的探究性学习过程是学生自主分析、研究、探索、发现的思维过程，它与人类认识世界的过程非常相似，都要经历探索、实践、猜想、发现、失败、再探索再实践，不断总结教训经多次努力，最终从失败走向成功的过程。研究性教学要展现学生的思维过程，应重点展示学生发生的错误，教师恰当分析引导，克服障碍、困难，由失败走向成功。本文以抛物线的焦点弦为例，谈谈探究性课程的设计，请各位同行指正。一、问题的引入抛物线的对称轴上有一个特殊的点──焦点

2、，因而过其焦点的焦点弦也是一个比较特殊的弦，那么焦点弦到底有什么性质呢？二、问题的探究过抛物线的焦点F作一条直线和此抛物线相交于A、B两点，引导学生思考我们可以探究那些问题，学生的回答可能不大一样，但是作为课堂教学，教师要引导学生从同一个问题开始逐步探讨，开始探讨的问题应该是最基本也是最容易探讨的问题，那就是弦长问题。xBoyAA1B1F（图1）探究1弦长AB这是个很基本的问题，学生完全能够自己探究出来。（方法一）设直线的方程为：，其中（为的倾斜角），代入到中，得到，则，。所以弦长AB=；（方法二）分别过点A和B作准线的垂线，垂足分别是A1和B1，如图1

3、，则AB=AF+BF=AA1+BB1=；所以，我们就得到了结论1直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于点A、B，则（1）弦长AB=；（2）弦长AB=（为的倾斜角）；（3），。接下来，引导学生继续探究。如果把上面的结论看作是原命题的话，不妨可以探究一下其它形式的命题。由于原命题和逆否命题、逆命题和否命题分别是等价命题，所以只考虑原命题和逆命题两种形式。由于结论1有包含了三种情况，所以结论1的逆命题分别是：（一）直线与抛物线相交于点A、B，且AB==，则直线经过抛物线的焦点（AB是焦点弦）。（一）直线与抛物线相交于点A、B，且AB=，（为的倾斜角）则直线经过抛

4、物线的焦点（AB是焦点弦）。（二）直线与抛物线相交于点A、B，且，，则直线经过抛物线的焦点（AB是焦点弦）。探究命题最基本的就是判断它的真假，如果认为它是真命题，就要给出严格的证明，如果认为是假命题，要举出反例。对于逆命题（一），由于举不出反例，因此猜想它是正确的。证明如下：根据抛物线的定义，AF=，BF=，所以AF+BF=，因此，AB=AF+BF，所以A,B,F三点共线，即AB是焦点弦。所以逆命题（一）是真命题。对于逆命题（二），由于举不出反例，因此猜想它是正确的。证明如下：设直线的方程是，其中，代入到中得到：，则，，所以AB=，所以，化简得到，所以A

5、B是焦点弦。因此逆命题（二）是真命题。对于逆命题（三），由于举不出反例，因此猜想它是正确的。证明如下：设直线的方程是，其中，代入到中得到：，则，所以，则，所以AB是焦点弦。因此逆命题（三）是真命题。在证明逆命题（三）的过程中，条件没有用到，所以可以省略，引导学生条件与之间的关系，可以得到它们不是等价关系，进一步探究可以得到条件是不能省略的，若只有条件，可以很容易举出反例说明结论不成立，反例如下：做出点A关于轴对称的点A＇，＇），则A＇，＇）仍在抛物线上，且满足，但显然直线A＇B不过焦点。总结上面的结论得到：结论1＇直线与抛物线相交于点A、B，则弦AB是焦

6、点弦的充要条件是AB==或AB=或，。xBoyAA1B1F（图2）MM1探究1中实际上用到了直角梯形AA1BB1的上、下底边长与腰长这些基本元素，直角梯形还有什么基本元素呢？可以让学生回答。如果又给出了梯形的中位线MM1（图2），那么还可以探究什么呢？可以先让学生试试看。如果抓住了中位线的几何性质，探究的问题其实就迎刃而解了。由于MM1=，即中位线的长是弦长的一半，所以以弦AB为直径的圆与准线相切，所以，接下来的探究是探究2以AB为直径的圆与准线的位置关系根据前面的分析，可以很快得到：结论2直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于点A、B，则以AB为直径的圆

7、与准线相切。接着考虑结论2的逆命题：直线与抛物线相交于点A、B，M是弦AB的中点，若以AB为直径的圆与准线相切，则弦AB过抛物线的焦点（AB是焦点弦）。还是引导学生判断上面命题的真假，由于没有举出反例，所以先猜想它是正确的，证明如下：取弦AB的中点M，分别过点A,B,M作准线的垂线，垂足分别为A1,B1,M1，则以AB为直径的圆的半径，所以，则A,B,F三点共线，即AB是焦点弦。所以该逆命题是真命题，因此得到下面的结论：结论2＇直线与抛物线相交于点A、B，则弦AB是焦点弦的充要条件是以弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切。探究3记准线与轴的交点为（图3），

8、探究与的大小关系学生很容易从直观上猜想二者相等，但必须给出证明，证明如下：证明：