高等数学导数的意义求导法则与高阶导数知识与练习

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1、导数的意义基本知识1．导数、单侧导数、导函数的定义：     左、右导数  导函数2．导数的几何物理意义：  几何意义：表示曲线在点处的切线斜率，即其中是切线的倾角。  物理意义：表示做变速直线运动的物体在时刻的瞬时速度，即。3．在点可导的性质：  性质1（必要条件）在点可导在点连续，                     即：可导连续，不连续不可导。  性质2（充要条件）依此用于判定连续函数在分段点的可导性。  性质3在点可导且：              当有              当有即的符号指示了在点变化方向！4．两个结论：1）可导的偶（奇）函数的导数是奇

2、（偶）函数；            2）可导的周期函数的导数仍为具有相同周期的周期函数。  下面给出结论1的证明：  设为偶函数，即又可导，根据导数定义，                                         即为偶函数。求导的基本知识1.求导法则（四则运算法则）： 若都在点具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在具有导数，且2.反函数的求导法则： 若在区间内单调，可导且，则它的反函数在区间内也可导，且即“反函数的导数等于直接函数导数的倒数”。3.复合函数的求导法则： 若可导，则复合函数在点可导，且4.常用求导公式：（略）5.

3、补充两个结论： Ⅰ点连续且，        则点可导点可导。点连续且，        则点可导点可导且。      依此，可方便地判定在一点的可导性。 Ⅱ点可导，点连续但不可导，        则在点可导      即若在点不可导，        若在点可导且     依此，可用于判定可导函数与连续函数之积函数在一点可导性。证明：Ⅰ（或）                     有（或）                                                        （或）           点可导点可导             且点导数

4、               点导数。      Ⅰ点可导存在                                                      或                                                  即。      Ⅱ设         由                                             知点可导且        设点可导，反证之，若             由知，由、点可导且  知点可导与条件点连续矛盾              高阶导数基本知识1.高阶导数

5、定义: 二阶导数： 阶导数：2.高阶导数的基本公式：    （任意数） 、简记为、，、阶可导，          重点难点1.求一给定的函数的任意阶导数即，常用如下方法： （1）归纳法：先逐一求出的一、二、三阶导数，然后正确归纳的公式（必要时用数学归纳法证明之）。 （2）分解法：通过恒等变形将分解成，求出、，则有。 （3）用莱布尼兹公式求乘积函数的阶导数。 （4）利用简单的初等函数的阶导数公式。2.求高阶导一般比较麻烦，应先化简变成基本公式中的形式，再套用公式。 例（1）求有理分式的高阶导时，应先化为真分式和多项式之和，而真分式分解成若干次数较低的分式之和，此后再求导。

6、  （2）求三角函数的高阶导时，通过倍角公式或积化和差将其化为若干个基本三角函数的代数和，再行求导。  （3）反三角函数的高阶导数时，因反双曲、对数函数的一阶导都是代数函数，它们的高阶导即求代数函数的低一阶的导数。3.计算带有或分段函数的复合函数的二阶导数时，应先把复合函数按分段函数正确表达，再逐次求导；在分段点若一阶导不存在，则二阶导不必计算；若存在，应根据一阶导的分段表达式再按导数定义进行计算，步骤比较多，不要遗漏。习题选解1.求下列函数的二阶导数：（10） 解：（采用逐阶求导法解之）    （11）解：   3.若存在，求下列函数的二阶导数：（1） 解：     

7、      （2） 解：             4.试从导出：（1）         （2） 证明：（1）     （2）[注：、等仍是的函数]6.验证（、、常数）满足关系式。证明：[只须算出，再验证之]                         8.求下列函数的阶导数的一般表达式：（2） 解：  （4）解：由乘积函数的莱布尼兹公式和得：   9.求下列函数所指定的阶的导数：（2）求. 解：[的高阶导数都为零，应该用莱布尼兹公式计算本题]   在线检测1.设有阶导数，求证：.2.求下列函数的阶导数：（1）     （2）    （