【精品】高等数学导数的意义求导法则与高阶导数知识与练习.doc

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1、导数的意义基本知识1.导数、单侧导数、导函数的定义:v0/ytoMtOx畑）=/（心n左、右导数心广（沪応心肛）-畑卄I导函数TAx2.导数的几何物理意义：几何意义:广％）表示曲线=/«在点必亿』比））处的切线斜率,即广％）=tan%其屮疣是切线的倾角。物理意义：广仏）表示做变速直线运动2刃"的物体在％时刻的v（/0）=—L♦=广（%）瞬时速度，即川'O3./⑴在％点可导的性质：性质1（必要条件）/⑴在©点可导二/⑴在心点连续，即：可导连续，不连续不可导。性质2（充要条件）广匕0）="0/-"比）=/：&0）="依

2、此用于判定连续函数在分段点的可导性。性质3/⑴在厲点可导且/^0）>0（<0）=>3O（x0,5）：当x>心有/（x）>/（心）0*W/（^o））即广比）的符号指示了/⑴在点心变化方向!4・两个结论：1）可导的偶（奇）函数的导数是奇（偶）函数；2）可导的周期函数的导数仍为具有相同周期的周期函数。卜•面给出结论1的证明:设/⑴为偶函数，即心=畑又/（"）可导，根据导数定义,心+心）-心）=limAxtOAxAx即广（x）为偶函数。求导的基本知识1•求导法则（四则运算法则）:

3、若—“⑴及山咻）都在点X具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在X具有导数，且（1）［以（x）±v（x）］±v（x）（2）［”⑴v（x）］=z/（x）v（x）+以（x）J（x）（3）［制l"）咻丁⑴伽（吩）述）⑷口㈤卜切⑺2.反函数的求导法则：若X=在区间乙内单调，可导且广（刃工°,则它的反函数尸T⑴在区间Z”十卜=/（刃丿詡内也可导，且［小沪总或务古dy即“反函数的导数等于直接函数导数的倒数”。3.复合函数的求导法则：若«=g(x)在点X可导，y=f(u｝在点u=g(x)可导，则复合函数尸伍⑴］在

4、点X可导,且奚5眉⑴畤鵲4•常用求导公式：(略)5.补充两个结论：I•⑴设/⑴在勺点连续且/(和工0,则

5、/(x)

6、在卞点可导O/⑴在％点可导。⑵设/⑴在X。点连续且/(忌)=0,则A(x)

7、在心点可导O/(X)在X。点可导且/'(x°)=0。依此，可方便地判定/⑴I在一点的可导性。II•设“X)在兀点可导，貞刃在心点连续但不可导，则F(x)=/(x)g(x)在X。点可导0/(吗)=0即若/(Ab)*0=>F(x)=/(x)g(x)在X。点不可导，若/(xo)=O=>F(x)=/(x)g(x)在心点可导且^f(xo)

8、=ffMsM依此，可用于判定可导函数与连续函数之积函数在一点可导性。证明:I(1)o=/(；%)>o(或/(忌)<。)=的(订)用5佔)有/(耳>0(或“)=购（心6，卩匕）卜/（小当/帆）＞0（或卩⑴卜一/（X），当/(^)<°)"）1在勺点可导O"）在心点可导且乌（X。）A0时，卩（x）

9、在勺点导数m。）削'（心）＜0时，卩⑴

10、在勺点导数m。#I•⑵叽沁点可导OlimXT%巾）

11、-卩刚_詁（別x-卞fx-x。存在iimkwi(>o)=iimkwi(

12、mXT心/(x)-/(勺)x-Ab=0f「心即/rW=ooI「〜"设/(忌)=oFg=Hm尺⑴-Fg)=hm/d)&⑴-/区)貞亚宙XT%x-Xqx-xo=hm/(讥⑴=hm/⑴7(%⑴2%X_心XfX-Xq=fMsMT设尸酝点可导,反证之,若心）"由F（x）=/（x）g（x）•高阶导数的基本公式:{K7TCOSX+——I2何)㈤=(In[In(l+x)]W=(-1广】“-1)⑴矿*尸=4（4-1）...（—+1）宀（“任意数）叭力、丿⑴简记为以、V,“、以阶可导,（以土巧㈤=於）±用〉（C以）"〉=Cu^*_了（x

13、）,由％）、/⑴在X。点可导且厂％）“知盼）在％点可导与条件呂（X）仅在Xo点连续矛盾高阶导数基本知识1.高阶导数定义:二阶导数：“啟心心⑴Ax询导数：宀）苗宀7）八）AxW7TX+—2重点难点1•求一给定的函数/"）的任意阶导数即/㈤S）,常用如下方法：（1）归纳法：先逐一求出的一、二、三阶导数，然后止确归纳‘小的公式（必要时用数学归纳法证明之）。（2）分解法：通过恒等变形将/（力分解成/⑴"（力+N⑴,求出化）、於〉⑴，则有严⑴二炉⑴+炉⑴。（3）用莱布尼兹公式求乘积函数的“阶导数。（4）利用简单的初等函数的池阶

14、导数公式。2•求高阶导一般比较麻烦，应先化简变成基本公式中的形式，再套用公式。例（1）求有理分式的高阶导时，应先化为真分式和多项式之和，而真分式分解成若干次数较低的分式之和，此后再求导。（2）求三角函数的高阶导时，通过倍角公式或积化和差将其化为若干个基本三角函数的代数和，再行求导。（3）反三角函数的高阶导数时，因反双曲、对数函数的一阶导都是代数