【数学】北京市石景山区2012-2013学年高二上学期期末考试(理)

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1、石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高二数学(理科)考生须知1.本试卷为闭卷考试,满分为100分,考试时间为120分钟.2.本试卷共8页,各题答案均答在本题规定的位置.参考公式:球的体积公式,其中表示球的半径.一、选择题:本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.1.抛物线的焦点坐标为()A.B.C.D.2.已知直线经过点和点,则直线的斜率为()A.B.C.D.不存在3.过点与直线垂直的直线的方程为()A.B.C.D.4.已知命题,

2、则为()A.B.C.D.主视图左视图俯视图5.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是()A.B.C.D.6.棱长为的正方体的外接球的体积为()A.B.C.D.117.已知长方体中,,,则直线与平面所成角的正弦值为()A.B.C.D.8.已知表示两个不同的平面,为平面内的一条直线,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件9.过点的直线与圆交于两点,若,则直线的方程为()A.B.C.D.10.设双曲线的渐近线方程为,则此双曲线的离心率为()A.B.C.D.11.

3、已知抛物线:的焦点为,直线与交于,两点,则()A.B.C.D.12.若椭圆:()和椭圆:()的焦点相同,且,则下面结论正确的是()①椭圆和椭圆一定没有公共点②11③④A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③二、填空题:本大题共4小题,每小题3分,共12分.把答案填在题中横线上.13.命题“,如果,则”的逆命题是___________________________.14.椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则_________;的小大为__________.15.圆上动点到直线距离的最小值为_______.16.如图,正方体中,

4、,分别为棱,上的点.已知下列判断:①平面;②在侧面上的正投影是面积为定值的三角形;③在平面内总存在与平面平行的直线;④平面与平面所成的二面角(锐角)的大小与点的位置有关,与点的位置无关.其中正确结论的序号为_____________(写出所有正确结论的序号).三、解答题:本大题共6个小题,共40分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分6分)已知直线与直线的倾斜角相等,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为,求直线的方程.1118.(本小题满分6分)已知直线,直线和直线.(Ⅰ)求直线和直线交点的坐标;(Ⅱ

5、)求以点为圆心,且与直线相切的圆的标准方程.19.(本小题满分6分)如图,四棱锥中,底面是正方形,是正方形的中心,底面,是的中点.求证:(Ⅰ)∥平面;(Ⅱ)平面平面.1120.(本小题满分8分)如图,在底面是正方形的四棱锥中,,,点在上,且.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)在棱上是否存在一点,使得平面.21.(本小题满分7分)已知平面内一点与两个定点和的距离的差的绝对值为2.(Ⅰ)求点的轨迹方程;(Ⅱ)设过的直线与曲线交于,两点,且(为坐标原点),求直线的方程.1122.(本小题满分7分)已知椭圆的两个焦点

6、,,过且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于,两点,如果的周长等于.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若过点的直线与椭圆交于不同两点,试问在轴上是否存在定点,使恒为定值?若存在,求出的坐标及定值;若不存在,请说明理由.参考答案与评分标准一、选择题:本大题共12小题,每小题4分,共48分.题号123456答案题号789101112答案二、填空题:本大题共4小题,每小题3分,共12分.(一题两空的题目第一问1分,第二问2分.第16题答对一个给1分,但有多答或答错不给分.)题号13141516答案,如果,则②③三、解答题:本大题共6个小题,

7、共40分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分6分)11解:直线的斜率为.因为直线与直线的倾斜角相等,所以.……………1分设直线的方程为,令,则.……………2分因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为,所以,所以.……………4分所以直线的方程为,即或.……………6分18.(本小题满分6分)解:(Ⅰ)由得所以直线和直线交点的坐标为.……………2分(Ⅱ)因为圆与直线相切,所以圆的半径,……………4分所以圆的标准方程为.……………6分19.(本小题满分6分)证明:(Ⅰ)连结.因为是的中点,是的中点,所以∥,

8、……………2分又因为平面,平面,所以∥平面.……………3分(Ⅱ)因为底面,11所以,……………4分又因为,且=,所以平面.……………5分而平面,所以平面平面.……………6分20.(本小题满分8分)解:(Ⅰ)正方形边长为1,,,所以,即,,因为,所以平面.………………2分(Ⅱ)如图,以为坐标原点,直线,,

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