【数学】北京市西城区（南区）2012-2013学年高二上学期期末考试（理）

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1、北京市西城区（南区）2012－2013学年度第一学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。[]1.若为假命题，则A.命题与的真值不同B.命题与至少有一个假命题C.命题与都是假命题D.命题与都是真命题[]2.过点（－1，3）且平行于直线的直线方程为A.B.C.D.[]3.圆和圆的位置关系是A.外切B.内切C.外离D.内含[]4.椭圆的离心率为A.B.C.D.[]5.双曲线的渐近线方程是A.B.C.D.[]6.准线为x=2的抛物线的标准方程是A.B.C.D.[]7.关于直线l

2、，m及平面，，下列命题中正确的是A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则[]8.一正四棱锥各棱长均为a，则其表面积为A.B.C.D.[]9.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是A.B.C.D.[]10.如图，在正四面体中，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是7A.平面PDFB.DF平面PAEC.平面平面ABCD.平面平面ABC[]11.已知的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是A.B.6C.D.[]12.已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的

3、距离之和的最小值是A.2B.3C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。13.如图，三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为__________。14.若直线与圆有公共点，则实数a的取值范围是__________。15.设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为，则离心率e为___________。16.如图，正的中线AF与中位线DE相交于点G，已知是绕边DE旋转形成的一个图形，且平面ABC，现给出下列命题：7①恒有直线平面；②恒有直线平面；③恒有平面平面。其中正确命题的序号为

4、____________________。三、解答题：本大题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分6分）求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程。18.（本小题满分6分）求以椭圆的焦点为焦点，且经过点P（1，）的椭圆的标准方程。19.（本小题满分10分）已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点。（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB的长为时，写出直线l的方程。20.（本小题满分8分）如图，PCBM是直角梯形，，，，，又，，面ABC，直线AM与直线PC所成的角为，求二面角的平面

5、角的余弦值。21.（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，M、N分别为PA、BC的中点，且，CD=17（1）求证：平面PCD；（2）求证：平面平面PBD；（3）求三棱锥P－ABC的体积。22.（本小题满分12分）已知椭圆的长轴长为4。（1）若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，求椭圆焦点坐标；（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为，，当时，求椭圆的方程。7【试题答案】一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分1.D2.A3.A4.A5.C6.B7.C

6、8.B9.A10.C11.C12.A二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分13.14.[－3，1]15.16.①②③三、解答题：本大题共6小题，共52分。（如有其他方法，仿此给分）17.解法一：当焦点在x轴时，设双曲线的标准方程为，把A（3，－1）代入方程得，，双曲线的标准方程为。4分当焦点在y轴时，设双曲线的标准方程为，把A（3，－1）代入方程得，，这种情况不存在。6分解法二：设双曲线的方程为（），代入方程得，双曲线的标准方程为。6分18.由已知，，，。2分设所求方程为，因为过P（1，）所以。4分即，解得或（舍）为所求方程。6分19.（1）圆心坐标为（

7、1，0），，，整理得。4分（2）圆的半径为3，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，整理得，圆心到直线l的距离为，解得，代入整理得。8分当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，经检验符合题意。直线l的方程为或。10分720.在平面ABC内，过C作CDCB，建立空间直角坐标系（如图）由题意有A（，，0），设（0，0，），（），则M（0，1，），=，，由直线AM与直线PC所成的角为，得，即，解得（0，1，1），，设平面MAC的一个法向量为，则，取，得=（1，，－）。6分平面ABC的法向量为，，又二面角M－AC－B为锐角，二面角M－AC－B的平面角余弦值为。8分21.

8、（1）证明