【数学】北京市海淀2013-2014学年高二上学期期末考试（理）

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1、海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）2014.01一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线的准线方程是()（A）（B）（C）（D）（2）若直线与直线平行，则实数()（A）（B）（C）（D）OABCP（3）在四面体中，点为棱的中点.设,，，那么向量用基底可表示为（）（A）（B）（C）（D）（4）已知直线，平面.则“”是“直线，”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数

2、的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）（6）已知命题椭圆的离心率，命题与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，那么（）（A）是真命题（B）是真命题（C）是真命题（D）是假命题8（7）若焦距为的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为（）（A）（B）（C）（D）（8）如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．则下列命题中假命题是（）（A）存在点，使得//平面（B）存在点，使得平面（C）对于任意的点，平面平面（D）对于任意的点，四棱锥的体积均不变二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题

3、中横线上.（9）在空间直角坐标系中，已知，.若，则.（10）过点且与圆相切的直线方程是.（11）已知抛物线：，为坐标原点，为的焦点，是上一点.若是等腰三角形，则.（12）已知点是双曲线的两个焦点，过点的直线交双曲线的一支于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为.（13）如图所示，已知点是正方体的棱上的一个动点，设异面直线与所成的角为，则的最小值是.（14）曲线是平面内与定点和定直线的距离的积等于的点的轨迹.给出下列四个结论：8①曲线过坐标原点；②曲线关于轴对称；③曲线与轴有个交点；④若点在曲线上，则的最小值为.其中，所有正确结论的

4、序号是___________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题共10分）在平面直角坐标系中，已知点，动点在轴上的正射影为点，且满足直线.（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）当时，求直线的方程.(16)（本小题共11分）已知椭圆：，直线交椭圆于两点.（Ⅰ）求椭圆的焦点坐标及长轴长；（Ⅱ）求以线段为直径的圆的方程.(17)（本小题共11分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是？

5、若存在，求的长；若不存在，请说明理由．(18)（本小题共12分）已知椭圆：经过如下五个点中的三个点：，，，，.（Ⅰ）求椭圆的方程；8（Ⅱ）设点为椭圆的左顶点，为椭圆上不同于点的两点，若原点在的外部，且为直角三角形，求面积的最大值.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2014．01一.选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案CDBADBCB二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9）（10）（11）或（12）（13）（14）①②④注：（1

6、1）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设，则，，.……………………2分因为直线，所以，即.………………………4分所以动点的轨迹C的方程为（）.………………………5分（Ⅱ）当时，因为，所以.所以直线的倾斜角为或.当直线的倾斜角为时，直线的方程为；……………8分当直线的倾斜角为时，直线的方程为.…………10分（16）（本小题满分11分）8解：（Ⅰ）原方程等价于.由方程可知：，，，.……………………3分所以椭圆的焦点坐标为，，长轴长为.…

7、…………5分（Ⅱ）由可得:.解得：或.所以点的坐标分别为，.………………………7分所以中点坐标为，.……………9分所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径为.所以以线段为直径的圆的方程为.…………………11分（17）（本小题满分11分）（Ⅰ）证明：在正方形中，.因为，，所以平面．………………………1分因为平面，所以．………………………2分同理，．因为，所以平面．………………………3分（Ⅱ）解：连接，由（Ⅰ）知平面．因为平面，所以．………………………4分因为，，所以．分别以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示.由题意

8、可得：，，，．8所以，，，．设平面的一个法向量，则即令，得.所以．同理可求：平面的一个法向量．………………………6分所以．所以二面角的余弦值为．………………………8分（Ⅲ）存在．理由如下：若棱上存在点满足条件，设，．所以．………………