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1、2013-2014学年北京市海淀区高二上学期理科期末考试数学试题一、选择题（共1小题；共5分）1.在四面体O−ABC中，点P为棱BC的中点．设OA=a，OB=b，OC=c，那么向量AP用基底a,b,c可表示为 A.−12a+12b+12cB.−a+12b+12cC.a+12b+12cD.12a+12b+12c二、填空题（共1小题；共5分）2.在空间直角坐标系中，已知a=2,−1,3，b=−4,2,x．若a⊥b，则x=______．三、选择题（共7小题；共35分）3.抛物线y2=2x的准线方程是______A.
2、x=12B.y=12C.x=−12D.y=−124.若直线x+ay+1=0与直线x+2y+3=0平行，则实数a=______A.−12B.−2C.12D.25.已知直线l，平面α．则"l⊥α"是"∃直线m⊂α，l⊥m"的______A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若方程mx2+2−my2=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是______A.1,+∞B.0,2C.1,2D.0,17.已知命题p：椭圆的离心率e∈0,1，命题q：与抛物线只有一个公共点的直线是
3、此抛物线的切线，那么______A.p∧q是真命题B.p∧¬q是真命题C.¬p∨q是真命题D.p∨q是假命题8.若焦距为4的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为______A.42B.4C.22D.29.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F．则下列命题中假命题是______第6页（共6页）A.存在点E，使得A1C1∥平面BED1FB.存在点E，使得B1D⊥平面BED1FC.对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1FD.对于任意的
4、点E，四棱锥B1−BED1F的体积均不变四、填空题（共5小题；共25分）10.过点1,1且与圆x2−2x+y2=0相切的直线方程是______．11.已知抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，F为C的焦点，P是C上一点．若△OPF是等腰三角形，则PO=______．12.已知点F1，F2是双曲线C的两个焦点，过点F2的直线交双曲线C的一支于A，B两点，若△ABF1为等边三角形，则双曲线C的离心率为______．13.如图所示，已知点P是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱A1D1上的一个动点，设异面直线AB与CP
5、所成的角为α，则cosα的最小值是______．14.曲线C是平面内与定点F2,0和定直线x=−2的距离的积等于4的点的轨迹．给出下列四个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于x轴对称；③曲线C与y轴有3个交点；④若点M在曲线C上，则MF的最小值为22−1．其中，所有正确结论的序号是______．五、解答题（共4小题；共52分）第6页（共6页）15.在平面直角坐标系xOy中，已知点A4,0，动点M在y轴上的正射影为点N，且满足直线MO⊥NA．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）当∠MOA=π6时，求直线NA的方
6、程．16.已知椭圆C：3x2+y2=12，直线x−y−2=0交椭圆C于A，B两点．（1）求椭圆C的焦点坐标及长轴长；（2）求以线段AB为直径的圆的方程．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PB⊥BC，PD⊥DC，且PC=3．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求二面角B−PD−C的余弦值；（3）棱PD上是否存在一点E，使直线EC与平面BCD所成的角是30∘?若存在，求PE的长；若不存在，请说明理由．18.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1a>b>0经过如下五个点中的三个点：P1
7、−1,−22，P20,1，P312,22，P41,22，P51,1．（1）求椭圆M的方程；（2）设点A为椭圆M的左顶点，B，C为椭圆M上不同于点A的两点，若原点在△ABC的外部，且△ABC为直角三角形，求△ABC面积的最大值．第6页（共6页）答案第一部分1.B第二部分2.103第三部分3.C4.D5.A6.D7.B8.C9.B第四部分10.y−1=011.32或112.313.3314.①②④第五部分15.（1）设Mx,y，则N0,y，OM=x,y，NA=4,−y．因为直线MO⊥NA，所以OM⋅NA=4x−y2
8、=0，即y2=4x．所以动点M的轨迹C的方程为y2=4x（x≠0）． （2）当∠MOA=π6时，因为MO⊥NA，所以∠NAO=π3．所以直线AN的倾斜角为π3或2π3．当直线AN的倾斜角为π3时，直线NA的方程为3x−y−43=0；当直线AN的倾斜角为2π3时，直线NA的方程为3x+y−43=0．16.（1）原方程等价于x24+y212=1．由方程可知：a2=12，b2=4，
